数学的帰納法について

質問

数学的帰納法の証明問題なんですけど

任意のnに対し
　（1+2+3+・・・+ｎ）（1+1/2+1/3+・・・+1/n)≧ｎ**2
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。

です。よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

taropooさんのでOKですよね。では、ちっとひねた回答をば。

問題：
nを、n>0の自然数とする。
S=1+2+...+n
T=1/1+1/2+.....+1/n
とするとき
S T≧n^2
を（数学的帰納法を使って）示せ。

まずは、準備をします。

補助定理１
kがk＞0の自然数であるとき、
2k≦2^k
証明：数学的帰納法で証明します。これは簡単だから証明略。

補助定理２
kがk＞0の自然数であるとき、
k+1≦2^k
証明：これも簡単ですねえ。
kはk＞0の自然数だから
1≦k
です。両辺にkを足して
k+1≦k+k=2k
一方、補助定理１より
2k≦2^k
だから
k+1≦2k≦2^k
証明終わり。

さて本題に掛かりましょう。
U=1/1+1/2+1/4+....+1/(2^(n-1))
とおくと、k=1,2,....,n について補助定理１から
2k≦2^k
つまり
k≦2^(k-1)
だから、
1/k≧1/2^(k-1)
です。ですから、UとTを項別に比較すれば
T≧U
従って、
S T ≧ S U
です。だから
S U ≧ n^2
を示せば十分ですね。やってみましょ。

S = n(n+1)/2
U = 1+1/2+1/4... +1/2^(n-1) = 2-1/(2^(n-1))
です。（これらもそれぞれ、数学的帰納法で証明されるんじゃないかな。）
だから、
SU = (n(n+1)/2)(2-1/(2^(n-1))) = n(n+1)(1-1/(2^n))
が n^2より大きいか小さいかを調べたい。
SU-n^2=(n^2+n)(1-1/(2^n))-n^2=n-(n^2+n)/(2^n))=n(1-(n+1)/(2^n))
ここで補助定理２から
n+1≦2^n
ですから
(n+1)/(2^n)≦1
よって、
1-(n+1)/(2^n)≧0
ゆえに
SU-n^2=n(1-(n+1)/(2^n))≧0
となります。

以上から、
S T ≧ S U ≧n^2
証明終わり。

お礼

解答ありがとうございます。
なるほどー、と感心しました。
私ももっと頑張りま～す。

回答No.1

taropoo

1+2+…+n = n(n+1)/2なので
(1 + 2 + … + k)(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2　　　　…(A)
は
　　　　n(n+1)/2 * (1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2
すなわち
　　　　(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ 2n/(n+1)　　　　…(B)
と書きなおせますので、式変形の途中でこれを使えばいけます。

i) n=1の時
（右辺）= 1
（左辺）= 1
よって(A)を満たす。

ii) n=kで(A)が成り立つ時、仮定より
　　　　(1 + 1/2 + … + 1/k) ≧ 2k/(k+1)
この時
　　　　(1 + 2 + … + k + k+1)(1 + 1/2 + … + 1/k + 1/(k+1))
　　　　= (1 + 2 + … + k)(1 + 1/2 + … + 1/k) + (1 + 2 + … + k)/(k+1) + (k+1)(1 + 1/2 + … + 1/k) + (k+1)/(k+1)
　　　　≧ k**2 + k(k+1)/2 / (k+1) + (k+1) * 2k/(k+1) + 1　　（３項目は(B)より)
　　　　= k**2 + k/2 + 2k + 1
　　　　= (k+1)**2 + k/2
　　　　> (k+1)**2
よってn=k+1でも(A)を満たす。

以上により
　　　　(1 + 2 + … + n)(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2　　　　（等号成立はn=1の時）
が示されました。

お礼

分かりやすい解答ありがとうございました。
自分の力で出来るように頑張って勉強します。