αとβ行列を使用したディラック方程式について

質問

コンプトン散乱（電子・光子散乱）の計算をする際、ディラック方程式の部分において、通常はγ行列を使用しますが、αとβ行列を使用して計算した場合、どこをどのように書き変えたらよいのでしょうか？
γ行列を使用したディラック方程式は、
（γ0*p0-γ1*p1-γ2*p2-γ3*p3 -ｍ）φ＝０　　
　ですが、αとβ行列を使用すると、
（p0-p1*α1-p2*α2-p3*α3-ｍ*β）φ＝０　
になると思います。Mathematicaでプログラムを作ると、
γ行列を使用した場合、正確に計算できますが、

gu[0]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}};
gu[1]={{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,-1,0,0},{-1,0,0,0}};
gu[2]={{0,0,0,-I},{0,0,I,0},{0,I,0,0},{-I,0,0,0}};
gu[3]={{0,0,1,0},{0,0,0,-1},{-1,0,0,0},{0,1,0,0}};

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*(-q1)+gu[2]*(-q2)+gu[3]*(-q3)+ms);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*(-p1)+gu[2]*(-p2)+gu[3]*(-p3)+ms);

sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*(-k1)+gu[2]*(-k2)+gu[3]*(-k3)+mk);
sl[j]=(gu[0]*j0+gu[1]*(-j1)+gu[2]*(-j2)+gu[3]*(-j3)+mk);

αとβ行列を使用すると、きちんと計算できません。どこに問題があるのでしょうか？

m1=.;
m2=.;

au[0]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}};
(*au[0]=b*)
au[1]={{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,1,0,0},{1,0,0,0}};
au[2]={{0,0,0,-I},{0,0,I,0},{0,-I,0,0},{I,0,0,0}};
au[3]={{0,0,1,0},{0,0,0,-1},{1,0,0,0},{0,-1,0,0}};

sl[q]=(e4*q0+au[1]*(-q1)+au[2]*(-q2)+au[3]*(-q3)+au[0]*ms);
sl[p]=(e4*p0+au[1]*(-p1)+au[2]*(-p2)+au[3]*(-p3)+au[0]*ms);
sl[k]=(e4*k0+au[1]*(-k1)+au[2]*(-k2)+au[3]*(-k3)+au[0]*mk);
sl[j]=(e4*j0+au[1]*(-j1)+au[2]*(-j2)+au[3]*(-j3)+au[0]*mk);

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

Tr{(sl[p']+m)γν(sl[p]+sl[k]+m)γμ(sl[p]+m)γμ(sl[p]+sl[k]+m)γν}

とかでγ0^2=1, γiγ0= - γ0γi (i=1,2,3)を使うと

　(sl[p]+m)γμ
= (sl[p]+m)γ0^2γμ
=(p0 - pi γiγ0 + βm)(γ0γμ)
=(p0 + pi γ0γi + βm)(γ0γμ)
=(p0 + pi αi + βm)(γ0γμ)

後は他の回答者にお任せします

お礼

計算してみました。結果は、上手くいきませんでした。Tr[sl[q].au[0].au[x].(sl[p]+sl[k]).au[0].au[y].sl[p].au[0].ad[y].(sl[p]+sl[k]).au[0].ad[x]];
としました。どこが悪いのでしょうか？下記はｍathematica プログラムです。

m1=.;
m2=.;

(*au[0]=b*)
au[1]={{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,1,0,0},{1,0,0,0}};
au[2]={{0,0,0,-I},{0,0,I,0},{0,-I,0,0},{I,0,0,0}};
au[3]={{0,0,1,0},{0,0,0,-1},{1,0,0,0},{0,-1,0,0}};

e4=IdentityMatrix[4];
ms=e4*m1;
mk=e4*m2;
ad[0]=1*au[0];
ad[1]=-au[1];
ad[2]=-au[2];
ad[3]=-au[3];

sl[q]=(e4*q0+au[1]*(-q1)+au[2]*(-q2)+au[3]*(-q3)+au[0]*ms);
sl[p]=(e4*p0+au[1]*(-p1)+au[2]*(-p2)+au[3]*(-p3)+au[0]*ms);
sl[k]=(e4*k0+au[1]*(-k1)+au[2]*(-k2)+au[3]*(-k3)+au[0]*mk);
sl[j]=(e4*j0+au[1]*(-j1)+au[2]*(-j2)+au[3]*(-j3)+au[0]*mk);

s1=0;
s2=0;
s3=0;
y1=0;
y2=0;
y3=0;

For[x=0,x<4,x++,
For[y=0,y<4,y++,
s1=Tr[sl[q].au[0].au[x].(sl[p]+sl[k]).au[0].au[y].sl[p].au[0].ad[y].(sl[p]+sl[k]).au[0].ad[x]];
s2=Tr[sl[q].au[0].au[x].(sl[p]-sl[j]).au[0].au[y].sl[p].au[0].ad[y].(sl[p]-sl[j]).au[0].ad[x]];
s3=Tr[sl[q].au[0].au[x].(sl[p]+sl[k]).au[0].au[y].sl[p].au[0].ad[x].(sl[p]-sl[j]).au[0].ad[y]];
y1=y1+FullSimplify[ExpandAll[s1]];
y2=y2+FullSimplify[ExpandAll[s2]];
y3=y3+FullSimplify[ExpandAll[s3]];
]];
m2=0;

補足

お返事ありがとうございます。

上記で計算致します。計算した後、結果をご報告致します。