数学 定積分

質問

関数f(x)はf(x)=x+2∮0～π sin(x-t)f(t)dt
を満たすとする。このとき、f(x)を求めよ。解答お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

「∮」は周回積分や単一閉ループ経路の積分の記号なので、通常の積分では「∫」を使わないとダメです。

f(x)=x+2∫(0～π) sin(x-t)f(t)dt
　=x+2∫(0～π) {sin(x)cos(t)-cos(x)sin(t)}f(t)dt
　=x+2sin(x)∫(0～π) cos(t)f(t)dt -2cos(x)∫(0～π) sin(t)f(t)dt
∫(0～π) cos(t)f(t)dt=a, ∫(0～π) sin(t)f(t)dt=b …(★) とおくと a,bは定数なので
f(x)=x+2a sin(x)-2b cos(x) …(◆) となる。これを(★)に代入
a=∫(0～π) cos(t){t+2a sin(t)-2b cos(t)}dt=-πb-2
b=∫(0～π) sin(t){x+2a sin(x)-2b cos(x)}dt=πa+π

導出したa, bについての連立方程式を解くと
a=-(2+π^2)/(1+π^2), b=-π/(1+π^2)
(◆)に代入すれば
　f(x)=x -2{(2+π^2)sin(x) -πcos(x)}/(1+π^2) …（答）