ベストアンサー 数学 定積分 2014/11/11 23:03 関数f(x)はf(x)=x+2∮0~π sin(x-t)f(t)dt を満たすとする。このとき、f(x)を求めよ。解答お願いします。 みんなの回答 (1) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー info222_ ベストアンサー率61% (1053/1707) 2014/11/12 01:55 回答No.1 「∮」は周回積分や単一閉ループ経路の積分の記号なので、通常の積分では「∫」を使わないとダメです。 f(x)=x+2∫(0~π) sin(x-t)f(t)dt =x+2∫(0~π) {sin(x)cos(t)-cos(x)sin(t)}f(t)dt =x+2sin(x)∫(0~π) cos(t)f(t)dt -2cos(x)∫(0~π) sin(t)f(t)dt ∫(0~π) cos(t)f(t)dt=a, ∫(0~π) sin(t)f(t)dt=b …(★) とおくと a,bは定数なので f(x)=x+2a sin(x)-2b cos(x) …(◆) となる。これを(★)に代入 a=∫(0~π) cos(t){t+2a sin(t)-2b cos(t)}dt=-πb-2 b=∫(0~π) sin(t){x+2a sin(x)-2b cos(x)}dt=πa+π 導出したa, bについての連立方程式を解くと a=-(2+π^2)/(1+π^2), b=-π/(1+π^2) (◆)に代入すれば f(x)=x -2{(2+π^2)sin(x) -πcos(x)}/(1+π^2) …(答) 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 数学 定積分の問題です x>0に対し関数f(x)をf(x)=∮0~x (1/1+t^2)dtと定め、g(x)=f(1/x)とおく。 (1)(d/dx)f(x)を求めよ (2)(d/dx)g(x)を求めよ (3)f(x)+f(1/x)を求めよ 解答お願いします。 高校数学、定積分の性質 a,bを定数、xはtに無関係な変数とする。 (1)∫(a~b)f(t)dtは定数である。 、、、f(x)の不定積分の1つをF(x)とすると、 ∫(a~b)f(t)dt=[F(t)][上b、下a]=F(b)-F(a) すなわち∫(a~b)f(t)dtはtの値に無関係な定数となる。とあるのですが、どういう意味でしょうか? 定積分の結果は不定積分∫f(t)dt=F(t)+Cのように、tの関数にはならず、定数になる。という意味でしょうか?それとも∫(a~b)f(t)dt=∫(a~b)f(x)dxのように、積分変数は結果に無関係という意味でしょうか? (2)∫(a~x)f(t)dt,∫(a~b)f(x,t)dtは積分変数tに無関係で、xの関数である。 、、、∫(a~x)f(t)dt=F(x)-F(a)であるから、∫(a~x)f(t)dtはtに無関係でxの関数であるというのはどういう意味でしょうか? 積分の証明 f(x)は連続関数であり任意の実数xに対して∫(-x→х)f(x)dt=sin2xを満たすとする。x≧0の時 不等式∫(-х→х){f(t)}^2dt=x+1/4sin4xを示せ。について教えてください 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた? OKWAVE コラム 数学の積分について質問です。 数学の積分でわからない問題があったので教えていただけると幸いです。 F(x)=∫[-6, sin(x)](cos(t^2)+t)dt.のとき F'(x)を求めよ。 数学 積分法 数学でわからない問題があります。 cos^3xsinxを積分したいのですが、うまくいきません。 私が考えたのはこういうものです。 sinx=tとおく。cosxdx=dt cos^3xsinx=cos^2xcosxsinx また、cos^2x=1-sin2xより ∮cos^3xsinx dx=∮(1-t^2)t dtとなる。 よって1/2t^2-1/4t^4+Cより 1/2sin^2x-1/4sin^4x+C (Cは積分定数) こうしたのですが違いました。 cosx=tとすると解答と一致し、 -1/4cos^4x+C となりました。 sinx=tのやり方のどこが間違っているのかわかりません。 教えてください。 積分について f(x)は連続関数であり 任意の実数xに対して∫(-х→х)f(t)dt=sin2xを満たすとする。この時,g(x)=f(x)-cos2xとおくと、g(x)が奇関数であることを示せ。について教えてください 高校数学、定積分 f(x)=∫(x^2~x^3)(1/logt)dt(x>0) 1/logtの原始関数をF(t)とすると、∫(x^2~x^3)(1/logt)dt=F(x^3)-F(x^2)、F`(t)=1/logt f‘(t)=F`(x^3)(x^3)‘-F`(x^2)(x^2)‘ (疑問点) (1)最初の部分で、F(t)とおいていますが、F‘(t)=1/logtでありますが、これはf(t)と同じなのでしょうか? (2)もし同じならば、f(x)のxをtとしたのがf(t)ですから、天下り的に(結果を想定して)F(t)と置けたということですが、なぜF(t)とおけたのですか? 再帰的微積分 次の問題について f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](tf'(x-t))dt を満たすf(x)を求めよ 解答を見ると、f(x) = (e)^2x となっているのですが、解答解説そのものが信用できません。 解説の一行目で、x - t = u とおくと、dt = -du としているのですが、x,t,uは相互に関数の関係にあるため、このように変形できないように思われます。 どなたか、解法解説をお願いいたします。 以下、自力で解いてみましたが、欠片も似つかない回答になったものを提示します。 与式両辺を微分すると、 f'(x) = 2 + 2xf(x-x) = 2 + 2xf(0)。 与式に代入して、 f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](t(2+ 2(x-t)f(0))dt x = 0を代入して、 f(0) = 1 + 2∫[0-0](t(2+ 2(-t)f(0))dt = 1 従って、f(0) = 1より、 f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](t(2+ 2(x-t))dt f(x) = 1 + 2x + 2t^2 + 2∫[x-0](t(2(x-t))dt f(x) = 2/3x^3 + 2x^2 + 2x + 1 積分です 関数f(x)が等式f(x)=sinx+∮(0→π)tf(t)dtを満たすとき、関数f(x)を求めよ。 f(x)=sinx+cとおいて、∮(0→π)f(t)dt=c と考えますよね…? その後が分からないです。 数学の積分の問題なのですが、わからないのでどなたか教えていただけると嬉 数学の積分の問題なのですが、わからないのでどなたか教えていただけると嬉しいです。 問題 2次関数f(x)およびg(x)が x ∫ {2f(t)+g(t)}dt=x二乗-4x+3,f'(x)-g'(x)=-3,f(1)=1 1 の条件を満たすとき、f(x),g(x)を求めよ。 数学 積分 (1)F(x)が0≦x≦1で連続な関数である時、∫xF(sinx)dx=π/2∫F(sinx)dxが成立することを示し、 ∫xsinx/3+sinx^2・dxを求めよ。 積分区間はすべてπから0までです。 t=π-xと置くのか定石とか書いてありますが、なぜこういうことをするのですか? それと、成立することを示した後、なぜsinx/3+sinx^2をF(sinx)と置くのでしょうか? これはそうしないと解けないのですか? 詳しくお願いします。 (2)∫|1-√2-2sinΘ^2-2√3sinΘcosΘ| 積分区間πから0を求めよ。 絶対値の中を2cos(2Θ+3π)-√2にして、それで(2Θ+3π)をtとかおいて積分区間を7π/3, π/3まではわかるんですが、それから解説だと、9π/4からπ/4までを積分すればいいとなっていますが、なぜでしょうか? 周期関数はどこから区間を始めても、定積分の値は等しいとなっていますが、なぜですか? 周期関数とはsin,cosだけでで表されてるものだけをいうのでしょうか? それ以外に周期的な関数というのは存在するでしょうか? 解説お願いします。 積分の問題 f(x)はx≧0で定義された連続な関数で、等式int_{0}^{x^2}f(t)dt=int_{0}^{x}t^3cost^2dtを満たす。このときf(x)を求めよ。 f(x)の原始関数とF(x)とすると、 int_{0}^{x^2}f(t)dt=〔f(t)〕(0≦t≦x^2〕 =F(x^2)-F(0) これを微分すると、 2xf(x^2) となっていますが、なぜf(0)が書いていないのかがわかりません。 どのように求めたのでしょうか? よろしくお願いします。 日本史の転換点?:赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 定積分の問題(数学II) 次のような問題の解の検算方法を知りたいです。 問 等式f(x)=3x^2+∫(1)(-1)f(t)dt を満たす関数f(x)を求めろ。 ※積分記号の適切な入力方法が分からなく、混乱させてしまうかも知れません。ここでは、(1)が上端、(-1)が下端を意味します。表記も御指摘下さると有り難いです。 一応解いてみると、 ∫(1)(-1)f(t)dtは結果定数となるから、これを定数bとおく。 従って与式 f(x)=3x^2+b。 b=f(t)=∫(1)(-1)(3t^2+b)dt=[t^3+bt](1)(-1)=2+2b。 b=2+2bより、b=-2。 求める関数は、f(x)=3x^2-2。 この解の正誤も勿論尋ねたいのですが、何よりこの類いの問題の検算が分らないので、教えて下さると嬉しいです。 積分のやり方について 下記の3問で解き方、考え方を教えてください。 (1) x=cos 2t, y=3sin t をx軸のまわりに回転してできる回転面の 面積 (0≦t≦π/2) (解答は49/4π) S=2π∫(0~π/2) y √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2) dx で√内の処理がわかりません。 (2)曲線 x=tan t, y=sin t + 1 とx,y軸と直線x=1とで囲まれた図形の面積 (0≦t≦π/4) 解答は√2 S=∫(0~π/4) (sin t + 1)(tan t)' =∫(0~π/4) sin t + 1/(cos t)^2 ここから先で(cos t)^2を 変形したりしましたが答えがあわずに つまずいてます。 (3)∫(x^2- 2x + 3)/(x - 2)^3 dx 解答は log|x - 2| - (2/x - 2) - (3/2(x - 2)^2) 部分分数分解でやりましたがうまくできません。 積分です。 関数F(x)がF(x) =x^2-x+2∫ (上:1,下:0)F(t)dtを 満たすとき,関数F(x)を 求めよ。 やり方がわからなくて 困ってます。 詳しく教えていただけると嬉しいです。 数IIIの積分の問題がわかりません! 数IIIの積分の問題がわかりません! 関数f(x)は f(x)=x+2∫<π→0>sin(x-t)f(t)dt を満たすとする。 このとき A=2∫<π→0>f(t)costdt , B= -2∫<π→0>f(t)sintdt とおいてf(x)を求めよ。 上の問題の解き方がわかりません。 どうやって解けばいいのでしょうか? 教えてください。 積分初心者なので詳しく教えていただけたら助かります! よろしくお願いします。 数学の問題です。 閉区間[0,2π]上で定義されたxの関数f(x)=∫[0,π]sin(|t-x|+π/4)dtの最大値および最小値とそのときのxの値をそれぞれ求めよ。 よろしくお願いします>< 数学III積分の問題 数学III積分の問題 問1 0≦x≦2分のπ の範囲において、y=2sin2x とy=cosxに囲まれた部分の面積を求めよ。 問2 f(x) は g(t)dt を -x から x まで積分したものである。 g(t)= eのt乗+1 分の eのt乗+eの-t乗 のとき、fダッシュ(x) と f(x) を求めよ。 ただし、G(t) が g(t) の原始関数であるとき、f(x) = G(x)ーG(-x)になることを用いてよい。 式を言葉に示して非常にみにくいですが、数学IIIのわかるかた、どなたか解説お願いします。 数IIIの問題です 次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。 f(x)=cosx+∫<0→π/2>f(t)sin(x+t)dt 途中式も含めて解答をお願いします 数学(微積分)の問題です。 数学(微積分)の問題です。 2変数関数f=f(t,s)はR^2上定義されたC^1関数とすsる。 (1)F(t,x)=∫[0~x]f(t,s)dsは(t,x)のC^1関数であることを示せ。 (2)g(t)=∫[0~t]f(t,s)dsとおくと、g'(t)=f(t,t)+∫[0~t]ft(t,s)ds (ここでftはfのtでの偏微分) となることを示せ。 1は両辺微分?それで示せたことになりますか? 2は、微分してみましたがあまりうまくいきませんでした。 解答の過程を教えてください。 よろしくおねがいします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば? 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