明日までに予習しなければならないのですが、何をしたらよいのかまったくわ

質問

明日までに予習しなければならないのですが、何をしたらよいのかまったくわかりません。それぞれの書き出し、ヒントをください。

微分可能な関数 f(x) は、等式 ∫[0,x]f(t)dt=e^x-1+∫[0,x](x-t)f(t)dt
を満たすとする。
(1)f(x)=e^x g(x)とおいたとき、g(x)を求めよ。
(2)実数aに対して、方程式f(x)=aを満たす実数解の個数を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
「関数方程式」と呼ばれる内容になりますね。

いろいろと技（というか、冷静に考えると当たり前のことなのですが）が必要になります。
以下に、それをずらずらと記しておきます。

・∫[0,x] x* f(t) dtという積分において、積分変数は tです。
よって、積分の計算においては xは定数扱いになります。

・∫[0,x] f(t) dtを xで微分すると、f(x)になります。

・問題に出てくる積分において x＝ 0とすると、積分区間が 0→ 0となるので、積分の値も 0となります。

(1)は与えられた式を代入して、その微分を計算してみてください。
g(x)を求めるということは、f(x)を求めることになりますね。

(2)の方程式の解は、y＝ f(x)と y＝ aの交点の x座標として与えられます。
そこで、まず y＝ f(x)のグラフ（増減表）を描いてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。おかげで今日、スムーズに授業が受けられました。

回答No.3

noname#119424

∫[0,x]f(t)dt=e^x-1+∫[0,x](x-t)f(t)dt

を両辺にxで2回微分すると楽になる。
2回微分して　　f'(x)=e^x＋f(x)・・・・(＊)

(1)f(x)=e^x g(x)とおいたとき、(＊)に代入して
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　e^x g'(x)=e^xが得られる。
e^x≠0よりg'(x)=1 即ち　g(x)=x＋c
よって
　　　　　　　　　f(x)=e^x(x＋c)
さらにもとの式を一回微分して得た式は
　　　　　　　　f(x)=e^x＋∫[0,x]f(t)dt で
x=0とするとf(0)=1 より　c=1
ということはf(x)=e^x(x＋1)

(2)
f'(x)=e^x(x＋2)でf'(x)=0 ⇔　x=-2
これは極小値かつ最小値の点。 またx→-∞のときf→0 　x→∞のときf→∞
つまり　f(x)=aを満たす実数解の個数を考えると
a<f(-2)=-e^(-2)のとき0個　で0≦a またはa=-e^(-2)のときは1個
-e^(-2)<a<0のときは2個

お礼

回答ありがとうございます。具体的に何をしたらよいのかわかり、助かりました。

回答No.2

koko_u_u

予習なんだから解けてる必要はないのでは？

お礼

回答ありがとうございます。僕も解けてる必要はないと思いますが、導入部分くらいは考えてきた方が理解が早いと思ったので質問しました。