チェビシェフの不等式(ルベーグ積分)

質問

ルベーグ積分を勉強してたら、チェビシェフの不等式
というものがでてきました。統計でも出てきましたが、違うものに見えます。ところで、ルベーグ積分でのチェビシェフの不等式:　λf（t）＜＝１/t∫λf（ｔ）dt(∫の範囲0から∞) t>0
([-∞,∞]に値とるかせき関数fに対しf(x)がtより大であるxの集合の測どをλf（ｔ）)
を示したいのですが、示せません。どなたか教えて下さい.お願いします。

回答No.2

linearis

>統計でも出てきましたが、違うものに見えます

大数の（弱）法則を証明するところで出てくるものですね。同じものです。

回答No.1

adinat

少し記号を変えて書きます。ルベーグ測度をμとします。またfは非負可積分、t>0としてとりあえず示します。
μ({x≧t})≦1/t∫f(x)dμ
がチェビシェフの不等式です。piropiro1さんの右辺のλf(t)dtというのは少し変に思います。この証明は、
E={f≧t}はfが可積分だから可測集合になり
特にf≧t1_Eとなる。ただし1_EはEの定義函数とします。
この両辺を全空間Xで積分すれば
∫fdμ≧tμ({f≧t})
となってこの場合は証明されたことになります。

ところでfは[-∞,∞]に値とる可積分函数とありますが、値を負にとってほんとによいのか少しだけ疑問です。