数IIIの問題です

質問

次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。

f(x)=cosx+∫<0→π/2>f(t)sin(x+t)dt

途中式も含めて解答をお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

f(x)=cosx+∫<0→π/2>f(t)sin(x+t)dt …(1)
　=cosx+∫<0→π/2>f(t)(sinxcost+cosxsint)dt
=(1+H)cosx+Ksinx …(2) とおくと
K=∫<0→π/2>f(t)costdt …(3)
(2)を代入
=∫<0→π/2>{(1+H)cos^2t+Ksintcost}dt
=(1/2)∫<0→π/2>{(1+H)(1+cos(2t))+Ksin(2t)}dt
=(1/4){(1+H)π+2K}
　∴2K=(1+H)π …(4)
H=∫<0→π/2>f(t)sintdt …(5)
(2)を代入
=∫<0→π/2>{(1+H)costsint+Ksin^2t}dt
=(1/2)∫<0→π/2>{(1+H)sin(2t)+K(1-cos(2t))}dt
=(1/4){2(1+H)+Kπ}
　∴2H=2+Kπ …(6)
(4),(6)より
　K=-4π/(π^2-4),H=-(π^2+4)/(π^2-4)…(7)
(7)を(2)に代入
∴f(x)=-4(πsinx+2cosx)/(π^2-4)

回答No.2

JOUNIN

No1です。積分区間見間違えていました

f(x)=cosx+∫[0,π/2]f(t)sin(x+t)dt
=cosx+∫[0,π/2]f(t)(sinxcost+cosxsint)dt
=cosx+sinx∫[0,π/2]f(t)costdt+cosx∫[0,π/2]f(t)sintdt

∫[0,π/2]f(t)costdt=A…(1)、∫[0,π/2]f(t)sintdt=B…(2)とおくと
f(x)=cosx+Asinx+Bcosx
=Asinx+(B+1)cosx…(*)

これを(1)、(2)に代入して
∫[0,π/2]{Asint+(B+1)cost}costdt
=∫[0,π/2]{Asintcost+(B+1)(cost)^2}dt
=(1/2)∫[0,π/2]{Asin2t+(B+1)(1+cos2t)}dt
=(1/4)[-Acos2t+(B+1)(2t+sin2t)][0,π/2]
=A/2+π(B+1)/4
∴A/2+π(B+1)/4=A
∴2A=π(B+1)…(3)

∫[0,π/2]{Asint+(B+1)cost}sintdt
=∫[0,π/2]{A(sint)^2+(B+1)costsint}dt
=(1/2)∫[0,π/2]{A(1-cos2t)+(B+1)sin2t}dt
=(1/4)[A(2t-sin2t)-(B+1)cos2t][0,π/2]
=πA/4+(B+1)/2
∴πA/4+(B+1)/2=B
∴πA+2=2B…(4)

(3)、(4)より
A=-4π/(π^2-4)、B=-(π^2+4)/(π^2-4)

(*)に代入して
f(x)={-4π/(π^2-4)}sinx+{-8/(π^2-4)}cosx
={-4/(π^2-4)}(πsinx+2cosx)

計算ミスしていたらすみません

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

JOUNIN

いわゆる積分方程式は、与関数の内部の定積分が定数であることを
利用して、自分で文字を置き連立してから元の式に代入する、
という手順を踏めば解くことが可能です

f(x)=cosx+∫[0,2π]f(t)sin(x+t)dt
=cosx+∫[0,2π]f(t)(sinxcost+cosxsint)dt
=cosx+sinx∫[0,2π]f(t)costdt+cosx∫[0,2π]f(t)sintdt

∫[0,2π]f(t)costdt=A…(1)、∫[0,2π]f(t)sintdt=B…(2)とおくと
f(x)=cosx+Asinx+Bcosx
=Asinx+(B+1)cosx…(*)

これを(1)、(2)に代入して
∫[0,2π]{Asint+(B+1)cost}costdt
=∫[0,2π]{Asintcost+(B+1)(cost)^2}dt
=(1/2)∫[0,2π]{Asin2t+(B+1)(1+cos2t)}dt
=(1/4)[-Acos2t+(B+1)(2t+sin2t)][0,2π]
=π(B+1)
∴π(B+1)=A…(3)

∫[0,2π]{Asint+(B+1)cost}sintdt
=∫[0,2π]{A(sint)^2+(B+1)costsint}dt
=(1/2)∫[0,2π]{A(1-cos2t)+(B+1)sin2t}dt
=(1/4)[A(2t-sin2t)-(B+1)cos2t][0,2π]
=πA
∴πA=B…(4)

(3)、(4)より
A=π/(1-π^2)、B=π^2/(1-π^2)

(*)に代入して
f(x)={π/(1-π^2)}sinx+{1/(1-π^2)}cosx
={1/(1-π^2)}(πsinx+cosx)