数列

質問

数列anの初項a1から第n項anまでの和をSnと表す。a1=1,an≠0であり、an=4Sn^2 – SnSn-1 – 3Sn-1^2 (n=2,3,…)を満たすとき、一般項anはan=(1)×(2)^(n-1) (n≧2),1(n=1)となる。
(1)(2)を求めよ。

よろしくお願いします。

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回答No.3

asuncion · ベストアンサー

さっきみたいなめんどくさいことしなくても、
a[n] = 4S[n]^2 - S[n]S[n-1] - 3S[n-1]^2
= (S[n] - S[n-1])(4S[n] + 3S[n-1])
と因数分解できることを手がかりとする方がよさげな気がします。

お礼

ありがとうございました。因数分解までは行けてたのですが、それ以降の処理で何らかの間違いをしていたようです。

回答No.4

gamma1854

重要なことですが、自分でどこまで考えたのですか？
”丸投げ”では何の意味もありません。
--------------
与えられた漸化式をよくよく見て、右辺が因数分解できることをまずつかみます。
a[n]=(S[n] - S[n-1])*(4*S[n] + 3*S[n-1]).
ここで、右辺第一因数は a[n] のことであり、a[n]≠0 ゆえ、上式は、
4*S[n]+3*S[n-1] = 1．(2≦n)
となります。これから S[n]を求め、さらに a[n]の式を「自分で」計算してください。
---------
結果は、a[n]=2*(-3/4)^(n-1), (2≦n) です。

お礼

ありがとうございました。因数分解までは行けてたのですが、それ以降の処理で正負の間違いをしていたようです。

回答No.2

asuncion

＞分子は初項-3, 公比-3の等比数列
＞分母は初項2, 公比4の等比数列
＞と推測できます。

ここは、分子・分母をまとめて、
初項-3/2, 公比-3/4とする方がよいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

S[1] = a[1] = 1
a[2] = 4S[2]^2 - S[2] - 3 = 4(a[1] + a[2])^2 - a[1] - a[2] - 3
= 4(1 + a[2])^2 - 1 - a[2] - 3
= 7a[2] + 4a[2]^2
4a[2]^2 + 6a[2] = 0, a[2] ≠ 0よりa[2] = -3/2

S[2] = S[1] + a[2] = -1/2
a[3] = 4S[3]^2 - S[3]S[2] - 3S[2]^2 = 4S[3]^2 + S[3]/2 - 3/4
S[3] = S[2] + a[3] = -1/2 + a[3]
a[3] = 4(-1/2 + a[3])^2 + (-1/2 + a[3])/2 - 3/4
= -4a[3] + 4a[3]^2 + a[3]/2 = 4a[3]^2 - 7a[3]/2
4a[3]^2 - 9a[3]/2 = 0, a[3] ≠ 0よりa[3] = 9/8

S[3] = S[2] + a[3] = 5/8
a[4] = 4S[4]^2 - S[4]S[3] - 3S[3]^2 = 4S[4]^2 - 5S[4]/8 - 75/64
S[4] = S[3] + a[4] = 5/8 + a[4]
a[4] = 4(5/8 + a[4])^2 - 5(5/8 + a[4])/8 - 75/64
= 5a[4] + 4a[4]^2 - 5a[4]/8
= 4a[4]^2 + 35a[4]/8
4a[4]^2 + 27a[4]/8 = 0
a[4] ≠ 0よりa[4] = -27/32
なんとなく、規則性が見えてきました。
a[2], a[3], a[4]について、
それらの分子 = -3, 9, -27
それらの分母 = 2, 8, 32
ですから、
分子は初項-3, 公比-3の等比数列
分母は初項2, 公比4の等比数列
と推測できます。
あとは数学的帰納法あたりを使えば、この推測が正しいかどうかが
わかるでしょう。

お礼

ありがとうございました。