三角フーリエ級数（部分積分）

質問

周期関数f(t)をグラフに描き、三角フーリエ級数展開しなさい。
　f(t)=t/T (0<t<T)　　　ただし、f(t)=f(t+T)

a0=2/T∫f(t)dt　　範囲[0,T]
　 =2/T∫(t/T)dt　 範囲[0,T]
　 =0
an=2/T∫f(t)・cos(nwt)dt
　 =2/T∫(t/T)・cos(nwt)dt　 範囲[0,T]
　 =2/T{[tsin(nwt)/Tnw]-∫sin(nwt)/(Tnw) dt} ***
　 =2/T{tsin(nwt)/2πn]-[cos(nwt)/T(nw)^2]}
　 =0
bn=2/T∫f(t)・sin(nwt)dt
　 =2/T∫(t/T)・sin(nwt)dt　 範囲[0,T]
　 =2/T{[tcos(nwt)/Tnw]+∫cos(nwt)/(Tnw) dt} ***
　 =2/T{-T/(2nw) + [win(nwt)/T(nw)^2]}
　 =-1/nπ

と、このように参考書には書かれています。

***行は部分積分をしていると思うんですがどうなっているのか分かりません。

自分で部分積分を解いているとsinやcosがいつまでも部分積分され、解き方が分かりません。

三角関数がある場合の部分積分の解き方とこの問題の途中式が分かる方、説明をお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

三角関数 (や指数関数) は微分・積分してもあまり形が変化しませんが, 多項式は微分すると次数が減っていって最後には 0 になります.
ということで, (多項式)×(三角関数) の形の式を積分するときは (多項式) の部分を微分するように部分積分するのが普通.

お礼

回答ありがとうございます。

そのようにやってみます。