絶対値記号同士の和のいみがわかりません…

質問

絶対値というのは距離のことをあらわす

l２x-１l　の絶対値記号をはずすと　0以上のときと　0より小さいときによってその値が変わる
このときは何となくわかるような気がするのですが
次の

lx+１l＋lx＋２l　の絶対値記号をはずすとき
x＝-１、x＝２を境界として絶対値記号の中の数の符号がかわる。
ということになると、絶対値の意味がわからなくなってしまいます。

距離同士のたし合わせと思っていたのですが…そうではないのでしょうか…

絶対値の中に距離が2つ？あって、その2つ同士の和…ということではないのでしょうか…

よくわかりません

絶対値どうしの和の意味教えていただけませんでしょうか
よろしくお願いいたします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

絶対値記号のはずしかた
|a| =a(a≧0)
　　　　　　　　　　　・・・・（※）
-a(a<0)

＞絶対値というのは距離のことをあらわす
数直線上で原点からの距離を表すであってると思います。

＞l２x-１l　の絶対値記号をはずすと　0以上のときと　0より小さいときによってその値が変わる
＞このときは何となくわかるような気がするのですが

|2x-1|の場合
2x-1≧0よりx≧1/2　このとき2x-1(x≧1/2のとき)
2x-1<0よりx<1/2　　このとき-(2x-1)=-2x+1(x<1/2のとき）
とxの場合わけによって絶対値が外れます。

＞｜x+１｜＋｜x＋２｜　の絶対値記号をはずすとき
＞x＝-１、x＝２を境界として絶対値記号の中の数の符号がかわる。
＞ということになると、絶対値の意味がわからなくなってしまいます。

まず|x+1|の絶対値記号をはずす
x+1≧0よりx≧-1　このときx+1
x+1<0よりｘ＜-1　このとき-(x+1)=-x-1

次に|x+2|の絶対値記号をはずします
x+2≧0よりx≧-2　このときx+2
x+2<0よりx<-2　　このとき-(x+2)=-x-2

以上をまとめると、
x<-2のとき-x-1+-x-2=-2x-3
-2≦x<-1のときx+2-x-1=x+1
x≧-1のときx+1+x+2=2x+3

例）|-3|+|5|=-(-3)+5=3+5=8
距離同士の和と考えると3+5=8とすぐに答えはでます。
（※）の定義を使うと、-(-3)+5=8となります。
絶対値は大きさと考えると、数字同士では簡単に処理できますが、
質問者様の問題のように文字が入ってくると簡単ではありません。
そこで絶対値のはずし方の定義（※）を一般的なはずし方として使います。

＞距離同士のたし合わせと思っていたのですが…そうではないのでしょうか…
そうですが、絶対値の中が文字式や多項式になるとその考え方では、
とても考えにくいので、絶対値のはずし方を一般化にしたのが（※）だと思ってください。
これを使って言い方は悪いですが機械的に処理するのが最初はよいかと思います。

＞絶対値の中に距離が2つ？あって、その2つ同士の和…ということではないのでしょうか…
それぞれの絶対値のはずし方は（※）に従います。ただそれだけです。

＞絶対値どうしの和の意味教えていただけませんでしょうか
大きさ（正の数）同士の和といえますが、文字式の入った絶対値のはずし方は（※）で
機械的に処理すればよいと思います。まずは計算に慣れてください。
そして結果を見てよく考えてみてください。

お礼

わかりました

頭の中を整理することができました

ありがとうございます

補足

ありがとうございます

回答No.3

alice_44

絶対値がひとつのときと同じに考えればよいのではありませんか？
|x+1| は、=|x-(-1)| だから、数直線上 x と -1 の間の距離、
|x+1| は、=|x-(-2)| だから、数直線上 x と -2 の間の距離です。
|x+1|+|x+2| は、その距離の合計。
数直線上に -1 と -2 の点を書き込んで眺めていると、
x が x<-2, -2<x<-1, -2<x のどの区分に入っているかによって、
距離の合計を出すために x, -1, -2 を引き算する向きが変わってくる
ことに気がつくかと思います。

お礼

ありがとうございます。

わかりました

補足

ありがとうございます

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

|a|は数直線上の a の原点からの距離であってます。

|x+1|+|x+2| も同様で、

x+1 の原点からの距離 + x+2の原点からの距離

です。ただし、式の中に絶対値があると不都合なことが多々あるので、
|a| を場合わけして、 a >= 0 ならば a, a < 0 ならば -a
とすることがよくあります。

すると

x+2 < 0 かつ x+1 < 0(x < -2) の場合
|x+1|+|x+2| = -x-1-x-2 = -2x-3

x+2 >= 0 かつ x+1 < 0 (-2 <= x < -1) の場合

|x+1|+|x+2| = -x-1+x+2 = 1

x+2 >= 0 かつ x+1 >= 0 (-1 <= x) の場合

|x+1|+|x+2| = x+1+x+2 = 2x+3

というように3つに分けると、式から絶対値を外すことができます。

お礼

回答ありがとうございます

わかりました

補足

ありがとうございます