全順序集合と半順序集合
x=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) ∈R^n に対して
x≦yを Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) (k=1,2,…,n)
によってR^nに関係≦を導入する。
R^nはこの≦に関して半順序集合になっていることを示せ。
また、x≦(にならない)y , y≦(にならない)x となるx,yの例をあげよ。
という順序集合の問題です。
反射的・反対称的・推移的の3つを示せば良いのは分かるのですが、どのように書いて良のか分かりません。
例：推移的を示す
任意のx=(x1,…xn) , y=(y1,…,yn) , z=(z1,…,zn) ∈R^n に対して
Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)y(i) かつ
Σ(i=1からkまで)y(i) ≦ Σ(i=1からkまで)z(i) ならば
Σ(i=1からkまで)x(i) ≦ Σ(i=1からkまで)z(i)
は成り立つ。
このように、そのまま書けば良いのでしょうか・・・？
それから、最後の例をあげよのところは、全順序集合にはならないための反例になっているのだと思いますが、どうしても思いつきません。
∞を考えるのでしょうか・・・？
そもそも全順序集合は半順序集合が成り立つことが前提みたいに習いましたが、反対称的の
任意のa,b∈Xに対して
aRb,bRa⇒a=b
ここで、aRbとbRaが成り立つことを言ってしまっているので、必ずaRbかbRaになっているような半順序集合は全順序集合という定義も意味がないような気がしてしまいます。
よろしくお願いします。
