イデアルの和集合

質問

Ｒは単位元１をもつ可換環。Ａ,Ｂ,ＣはＲのイデアルとする。
（１）Ａ∪ＢはＲのイデアルか。
（２）Ａ⊂Ｃ, Ｂ⊂Ｃとするとき、Ａ∪ＢとＣの包含関係を調べよ。

（１）はイデアルにならないと思いますが、特別な場合はイデアルになりますよね。
Ａ＝ゼロイデアルとか、Ｂ＝Ｒでもイデアルですよね。
線形で、２つの部分空間Ｘ,ＹがあってＸ∪Ｙも部分空間になるとき、Ｘ⊆ＹかＸ⊇Ｙだと教わりました。
イデアルだと、Ａ∪ＢがイデアルとＡ⊆ＢかＡ⊇Ｂは同値ですか。
Ａ⊆ＢかＡ⊇Ｂは十分条件なのは明らかですが、必要条件かどうかがわかりません。
（２）は集合として考えればＡ∪Ｂ⊆Ｃだと思うのですが、イデアルなのでＡ∪Ｂ⊂Ｃかもしれないと思います。
Ｃの元の中にＡ∪Ｂの元でないものがあればいいのですが、なかなか思いつきません。
やはり真部分集合じゃなくて、部分集合までしか成り立たないのでしょうか。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

(2)の問題文に出てくる「⊂」は、
真部分集合ではなく、部分集合の意味
ではないかと思いますが…
高校までと、大学以降では、
「⊂」という記号の意味は、違うのが通常です。
旧文部省の記号遣いは、独特ですから。

とはいえ、質問どおり、
「⊂」を真部分集合の意味で考えてみましょう。

A∪B=C と仮定すると、
A∪B がイデアルになりますから、
(1)より、A⊇B または A⊆B です。
従って、A=A∪B=C または B=A∪B=C となります。
これは、A⊂C かつ B⊂C に反します。
よって、背理法により証明終了です。

お礼

実際の問題文に使われている記号は、部分集合が「⊂」で真部分集合が「⊂」の下に「≠」がついています。パソコンで真部分集合の記号が出せなかったので、「⊆」と「⊂」で代用しました。
混乱させてしまってすみませんでした。
Ａ∪ＢがＣの真部分集合となるのは、かいてくださった証明を読んで良く理解できました。
（２）は（１）と関連してたんですね。背理法を使うのは少しも気づきませんでしたけど、華麗な証明で感激しました。
これからもなにか質問するかもしれませんが、そのときもいろいろ教えてくださると助かります。ありがとうございました。

回答No.1

alice_38

(1)は、「イデアルだとは限らない」です。
また、「A⊇B または A⊆B」は、
必要十分条件です。

貴方が教わった、部分線型空間の場合の証明を、
読み返してみましょう。
通常、その証明には、
スカラーによる割り算は出てこないので、
そのままの証明が、部分加群についても
当てはまります。

環は、それ自身への作用をスカラー倍と定義
すれば、加群になりますが、
イデアルとは、この加群の部分加群のこと
なので、先の証明で完了です。

お礼

部分線型空間の場合の証明をノートで確認したら、その証明がほとんどそのままイデアルの和集合にも使えるので驚きました。
部分空間とイデアルは良く似ていると思いました。
良いアドバイス、ありがとうございました。