集合の基礎的な問題なのですが…

質問

問題）Ａ＝｛2ｘ²＋4ｘ＋1｜ｘ≧0｝　Ｂ＝｛ｘ²－２ｘ＋１｜ｘ≧0｝
上の集合Ａ，Ｂの包含関係を記号⊆を使って表すという問題なのですが。答えを見ても理解できません。
教えて下さい。お願いします。

回答No.2

p-masa · ベストアンサー

y=2x^2+4x+1とする。
y=2x^2+4x+1
=2(x+1)^2-1より
x≧0のときy≧1
同様に
y=x^2-2x+1
=(x-1)^2より
x≧0のときy≧0
ゆえに
A={y|y≧1} B={y|y≧0}となり、A⊆B
************************************
Ａ＝｛2ｘ²＋4ｘ＋1｜ｘ≧0｝の意味は、
ｘ≧0を満たす全てのxを2ｘ²＋4ｘ＋1に代入したときに得られる値全てを要素とした集合、ということになります。
よって、Ａは1以上の実数すべてを要素とした集合となるので、A={y|y≧1}という表現ができます。

お礼

うーん、何となく分かりましたありがとうございました。

回答No.1

hitomura

Aの2次関数をfa(x)、bの2次関数をfb(x)と書くと、
fa(x)=2*x^2+4*x+1
　　　=2*x^2+4*x+2-1
　　　=2*(x^2+2*x+1)-1
　　　=2*(x+1)^2-1
となり、ｘ≧0のときfa(x)≧1となるから、A={y∈R|y≧1}となります。一方、
fb(x)=x^2-2*x+1
　　=(x-1)^2
ですから、ｘ≧0のときfb(x)≧1となるのでB={y∈R|y≧1}となります。したがって、
A=B、
⊆を使うならば、
A⊆B、かつ、B⊆A
が答…の、はずなのですが、…まちがっていないですよね？
＞答えを見ても
っていわれてますが、その答が書かれていないので心配なんですが…。

お礼

ごめんなさい、答えを書いてませんでした。

答）Ａ＝｛2*(x+1)^2-1｜x≧0｝
　　　＝｛y|y≧1｝
　　同様に
　　Ｂ＝{ｙ|ｙ≧0}
　　∴Ａ⊆Ｂ

なのですが、わかるでしょうか？