2次不等式の問題です。

質問

2次不等式 x^2 + 5× ≦ a^2 + a -7
を満たす整数 xが存在しないのは、
□ < a < □ のときである。

困っています。宜しくお願い致します。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

x^2+5x≦a^2+a-7
x^2+5x-a^2-a+7≦0
y=x^2+5x-a^2-a+7=(x+5/2)^2-a^2-a+7-25/4
=(x+5/2)^2-a^2-a+3/4
このグラフはx=-5/2で極小となる下に凸(∪)の二次曲線
なので、この曲線がx軸と交わる点が-5/2に一番近い整数
-3と-2の間、すなわち-3より大きく-2より小さければ
y=x^2+5x-a^2-a+7≦0を満たす整数xは存在しない。
この曲線がx軸と交わる点はx^2+5x-a^2-a+7=0の解なので、
x=[-5±√{25-4(-a^2-a+7)}]/2={-5±√(4a^2+4a-3)}/2
から{-5+√(4a^2+4a-3)}/2＜-2を満たすaが答えになる。
{-5+√(4a^2+4a-3)}/2＜-2から√(4a^2+4a-3)＜1
二乗、移項して4a^2+4a-4＜0、a^2+a-1＜0を満たすaは
a^2+a-1=0を解いてa={-1±√(1+4)}/2=(-1±√5)/2
よって(-1-√5)/2＜a＜(-1+√5)/2・・・答え

回答No.3

alice_44

とりあえず、A = a^2 + a - 7 と置こうよ。
x^2 + 5× ≦ A が整数解 x を持たないのは、
A が (x が整数の範囲での x^2+5x の最小値) より小さいとき。

x が整数の範囲での x^2+5x の最小値は、
x^2+5x = (x+5/2)^2 - (5/2)^2 と平方完成すれば、
x = -2 のときの (-2)^2+5(-2) = -6 であることが判る。
x = -5/2 は整数じゃないので、「最小値」は -(5/2)^2 ではない
ことに注意が必要。

要するに A < -6 となる a を求めればよいことが判ったので、
a^2 + a - 7 < -6 を解いて、(-1-√5)/2 < a < (-1+√5)/2。

回答No.1

mister_moonlight

数直線上で　考えたら良いだろう。

この不等式は　α≦x≦β　(β＞α)の形になる。
x^2 + 5× - (a^2 + a -7)＝0の2解をα、βとすると、解と係数から　α＋β＝-5、αβ＝- (a^2 + a -7)‥‥(1)
条件を満たすには　数直線上でβとαとの距離が1未満(それ以上なら　整数解を持つ)ならよいから　0＜β-α＜1.
両辺が正から　2乗すると　(β-α)＾2＜1.
(β-α)＾2＝(β＋α)＾2-4αβ＜1　これに(1)を代入して　不等式を解くだけ。

計算は　自分でやって。