面積を求めよ

質問

画像が添付してありますが、その画像に描いてある正方形の中にあるピンク色の面積を求める問題です。
自分でいろいろ考えたのですが結局答えにたどり着けず質問しました。
ちなみに答えはもうわかってまして 128/15[cm^2] だそうです。
問題の解き方・ヒントなどをよろしくお願いします。

回答No.5

Dr-Field · ベストアンサー

△AEBの面積は□ABCDの1/2であり、32cm2であるが、これは（AE×BG×1/2）でもある。

三平方の定理より、AE＝4√5であるから、4√5×BG×1/2＝32よりBG＝64/(4√5)＝16/√5

BD＝8√2であるが、点FはBDを2:1に内分する（∵△AFB 相似 △EFDかつAB：ED＝2:1）から、BF＝2/3×8√2。
再び三平方の定理より、GF^2＝BF^2-BG^2＝(2/3×8√2)^2－(16/√5)^2で、これを計算するとGF＝16/(3√5)となる。

△BGF＝BG×GF ×1/2＝(16/√5)×(16/(3√5))×1/2＝128/(3*5)＝128/15cm^2

これですと、中学３年の知識で解答可能です。

回答No.4

178-tall

まず、点 F の位置？
ベクトル流で割り出してみる。
A を原点 (0, 0) として、B は (8, 0) 、D は (0, 8) 、となる直交座標を想定する。
このとき、E は (4, 8) 。
F は、直線 s*(4, 8) と、直線 t*(8, 0) + (1-t)*(0, 8) = (0, 8) + t*(8, -8) 、の交点に相当する。
つまり、
　4s = 8t
　8s = 8 - 8t
の連立解から、12s = 8 → s = 2/3　。
つまり、F は s*(4, 8) = (8/3, 16/3) にある。

F の位置 (8/3, 16/3) がわかれば、
　⊿ABF は、底辺 = 8、高さ = 16/3　から面積 = 64/3
　|AF| は、F (8/3, 16/3) から、長さ = {√(8^2+16^2)}/3 = (8√5)/3　　(ピタゴラス)
　|BG| は、⊿ABF*2/F から、長さ = 16/√5
　|AG| は、長さ = √(8^2 - |BG|^2) = 8/√5　　(ピタゴラス)
　⊿ABG は、|AG|*|BG|/2 = 64/5
　⊿BFG は、⊿ABF - ⊿ABG = 64/3 - 64/5 = 64*(2/15) = 128/15

以上、単位は省略。

回答No.3

yyssaa

□ABCDは正方形ABCDの面積、△ABDは△ABDの面積を表すものと
します。他の△も同じです。
△ABFと△DEFは相似であり、△ABF=Sとすると△DEF=S/4
□ABCD=S+△BCD+△AED-S/4
S=(4/3)*(□ABCD-△BCD-△AED)=(4/3)*(64-32-16)=64/3
求めるピンク△BFG=S-△ABG=(64/3)-△ABG・・・・・(ア)
ここで∠BAG=∠AEDなので、△ABGと△AEDは相似。
従って△ABG=△AED×(AB/AE)^2
(AB/AE)^2=64/(8^2+4^2)=64/80=4/5
よって△ABG=(4/5)△AED=(4/5)*16=64/5
これを(ア)に代入して
求めるピンク△BFG=(64/3)-(64/5)=64*(5-3)/15=128/15
となります。

回答No.2

bettybanana

直角三角形AEDは、2辺から斜線の長さも公式で求められます。

サイン・コサインの公式を用いれば、角EADも角AEDも簡単に求められますから、角BAGも角ABGも四則演算で求められます。

辺ABの長さは分かってますから、後は、直角三角形の面積を求める方法、サイン・コサイン・タンジェントの公式で三角形の面積が算出出来きる筈なのですが・・

・・間違ってたらごめんなさい。m(_ _;)m

回答No.1

m0r1_2006

直線 AE と BC の交点を H とする．
CH = 8 cm になる．AH をピタゴラスの定理で求める．

直角三角形
ABH と BGH が相似なので，
BG と GH の長さが求まる．

点 F から BC に垂線を引き，交点を I とする．
直角2等辺三角形 BIF で a = BI = FI として，

直角三角形
ABH と FIH の相似から
AB : BH : AH = FI : IH : FH = a : (16-a) : FH
を解いて a = 16/3 と FH を求める．

直角三角形 BGF で直角をはさむ辺の長さ BG と GF = GH -FH
が求まった．