数学 面積

質問

授業で数学の先生が小学校の復習で
こういう問題を出してきました。
一辺が6ｃｍの正方形の外に円があります。
正方形の頂点と円はくっついています。この円の面積を求めよ。
ただし、円周率はπ（パイ）とします。
（説明下手ですいません。）

答えは18π平方センチメートルらしいのですが、やり方
が全く分かりません。
やり方の分かる方ご回答お願いします。

回答No.8

noname#215361 · ベストアンサー

ANo.6の回答者です。
わかりやすいと思われる例で補足します。

1辺の長さが6cmの正方形をAとすると、この面積は6^2=36cm^2
1辺の長さが4cmの正方形をBとすると、この面積は4^2=16cm^2
正方形Aの面積と正方形Bの面積の比は、36：16
ここまではよろしいですか。
これが比というものですので、疑問を抱く余地はありません。

さらに、36=4*9、16=4*4であり、4が36と16の最大公約数なので、
正方形Aの面積と正方形Bの面積の比は、36：16の形で終わらせるのではなく、
この比の前項である36と後項である16を、それぞれ最大公約数の4で割って9：4とします。
これと同様に考えたのが、πr^2：2r^2=π：2です。
ここでは、πr^2：2r^2の前項と後項を、それぞれr^2で割っています。

次に、正方形Aの面積は正方形Bの面積の何倍であるかを考えると、
36/16=9/4倍、つまり（比の前項）/（比の後項）倍です。
これから、正方形Bの面積を元に正方形Aの面積を求めると、
16*9/4=36cm^2となって、この考え方が正しいとわかります。

よって、質問において、円の面積は正方形の面積のπ/2倍になり、
円の面積は正方形の面積*π/2で求められます。

お礼

ありがとうございました。とても分かりやすいです。

回答No.7

kanekurimi

Ｎｏ．２です。
６√２というのは正方形の対角線の長さです。
正方形に対角線を引くと、直角二等辺三角形ができますね。
三平方の定理により、直角二等辺三角形の辺の長さの比は、（１：１：√２）です。
対角線は正方形の一辺の長さの√２倍ですから６×√２＝６√２　になります。
そしてこれは円の直径と同じになります。

お礼

ありがとうございました。とても分かりやすいです。

回答No.6

noname#215361

さらに別解です。
小学校の復習とのことですので、三平方の定理を使いません。

正方形の各頂点を順にA、B、C、D、対角線ACとBDの交点をEとし、
AE=BE=CE=DE=r（単位はセンチメートル）とすると、
このrが円の半径になるので、円の面積はπr^2（単位は平方センチメートル）
また、正方形では、直角を挟む2辺の長さがrの直角二等辺三角形が4つ集まっているので、
この面積は（r^2）/2*4=2r^2（単位は平方センチメートル）
よって、円の面積と正方形の面積の比は、
πr^2：2r^2=π：2
正方形の面積は6^2=36平方センチメートルであるから、
円の面積は36*π/2=18π平方センチメートル

なお、補足に対してですが、図を描けば正方形の対角線の長さが円の直径になることがわかると思います。
正方形の対角線の長さは、三平方の定理から、
√（6^2+6^2）=√｛（6^2）*2｝=√6^2*√2=6*√2=6√2
ということです。

お礼

ありがとうございました。

補足

πr^2：2r^2=π：2
正方形の面積は6^2=36平方センチメートルであるから、
円の面積は36*π/2=18π平方センチメートル
とありますが、なぜそうなるのでしょうか。

回答No.5

noname#215361

ANo.1では最後の答えを誤りましたので、リベンジの別解です。

正方形の各頂点を順にA、B、C、D、対角線ACとBDの交点をEとし、
AE=BE=CE=DE=r（単位はセンチメートル）とすると、
このrが円の半径になるので、円の面積はπr^2（単位は平方センチメートル）
また、三平方の定理から、r2^+r^2=2r^2=AB^2=BC^2=CD^2=DA^2
これが正方形の面積（単位は平方センチメートル）になるので、
円の面積と正方形の面積の比は、πr^2：2r^2=π：2
正方形の面積は6^2=36平方センチメートルであるから、
円の面積は36*π/2=18π平方センチメートル

なお、この解法では、円の半径rを具体的に求める必要はありません。

お礼

そうなんですか　ありがとうございました。

回答No.4

bran111

円の問題は直径またはが判ればたいていとけます。
この場合半径は正方形の対角線の半分ということは解りますか。
対角線の長さは6√2、従って、その半分＝3√2＝半径です。
円の面積は
π×(半径)^2=π×(3√2)^2=π×3^2×2=18π

お礼

ありがとうございました。とても分かりやすいです。

回答No.3

noname#215361

ANo.1の訂正です。

最後の答え
誤：「18平方センチメートル」→
正：「18π平方センチメートル」

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

kanekurimi

正方形の４つの頂点すべてに円がくっついているのなら、
円の直径は正方形の対角線の長さです。
ピタゴラスの定理を使って計算すると対角線は６√２です
円の半径は、その半分３√２です
円の面積は、π×半径の二乗＝１８π
だと思います。

お礼

ありがとうございました。

補足

6√2とは何なのでしょうか？
中2なので分かりやすく教えて頂けると幸いです。

回答No.1

noname#215361

正方形の対角線の長さが円の直径になります。

正方形の対角線の長さは、三平方の定理から、
√（6^2+6^2）=6√2センチメートル
よって、円の面積は、
［（6√2）/2｝＾2］*π=18平方センチメートル

お礼

ありがとうございました。

補足

6√2とは何なのでしょうか？
中2なので分かりやすく教えて頂けると幸いです。