【数列の問題】

質問

ｐは正の実数とする。
ｘについての3次方程式x^2-2x^2+(p+1)x-p=0
が3つのことなる実数解をx1.x2.x3をもち、
更にこれらの解をx1,x2,x3からなる数列が等比数列であるとする。
このとき、ｐの値を求めよ。
また、この数列のとりうる公比のなかで最も大きい値は？

答え
P=-2+√5、最大の公比1+√5/2

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞ｐは正の実数とする。
＞ｘについての3次方程式x^2-2x^2+(p+1)x-p=0
＞が3つのことなる実数解をx1.x2.x3をもち、
３つのうちの１つにｘ＝１を解にもつから、
（ｘ－１）（ｘ^2－ｘ＋ｐ）＝０
ｘ^2－ｘ＋ｐ＝０は、異なる２実数解をもつから、
判別式Ｄ＝１^2－４×１×ｐ＞０より、ｐ＜１／４
＞更にこれらの解をx1,x2,x3からなる数列が等比数列であるとする。
＞このとき、ｐの値を求めよ。
初項ａ，公比ｒとすると、ｘ1＝ａ，ｘ2＝ａｒ，ｘ3＝ａｒ^2
３次方程式の解と係数の関係より、
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ａ＋ａｒ＋ａｒ^2＝２　より、ａ（1+r+r^2）＝２
ｘ1ｘ2＋ｘ2ｘ3＋ｘ3ｘ1＝ａ^2ｒ＋ａ^2ｒ^3＋ａ^2ｒ^2＝ｐ＋１　より、
ａ^2ｒ（１＋ｒ＋ｒ^2）＝ｐ＋１　だから、２ａｒ＝ｐ＋１
ｘ1ｘ2ｘ3＝ａ^3ｒ^3＝ｐ　より、（ａｒ）^3＝ｐ
２ａｒ＝（ａｒ）^3＋１で、ａｒ＝ｘ2だから、２ｘ2＝ｘ2^3＋１より、
ｘ2^3－２ｘ2＋１＝０　（ｘ2－１）（ｘ2^2＋ｘ2－１）＝０
ａｒ＝ｘ2＝１のとき、２×１＝ｐ＋１より、ｐ＝１　これはｐ＜１／４を満たさない。
よって、ｘ2^2＋ｘ2－１＝０より、ａｒ＝ｘ2＝（－１±√５）／２
２ａｒ＝－１±√５＝ｐ＋１より、ｐ＞０だから、ｐ＝－２＋√５

＞また、この数列のとりうる公比のなかで最も大きい値は？
上のｐの値より、ｘ2＝ａｒ＝（－１＋√５）／２＜１だから、
ｘ3＝ａｒ^2＝１とすれば良い。　
よって、ｒ＝ａｒ^2／ａｒ＝１／｛（－１＋√５）／２｝＝（１＋√５）／２

ｘ1＝ａ＝ａｒ／ｒ＝｛（－１＋√５）／２｝／｛（１＋√５）／２｝
＝（３－√５）／２＜ｘ2＜ｘ3

お礼

ありがとうございます！

すごく丁寧で分かりやすかったです^^*

回答No.1

Tacosan

ちょっと手元で確かめてみたけど, おそらく問題に書いてあることをそのまま式にすれば p に対する方程式になる.