コーシーの関数方程式の解き方

質問

閲覧ありがとうございます。

実数R上で定義された連続関数fが

f(x+y)＝f(x)+f(y)

を満たすとき、fはどんな問題になるか調べよ。

という問題、所謂「コーシーの関数方程式」の解き方なのですが、この解き方の中でm、nが整数のとき

f(n)＝f( (n/m) × m)＝mf(n/m)

という変形がなされていたのですが、どうしてこれが成り立つのでしょうか？
どなたか分かる方解答よろしくお願いします。お待ちしています。

回答No.2

ask-it-aurora · ベストアンサー

実数上の連続関数はその稠密部分集合である有理数上での値から定まることを利用した証明ですね．なので質問では n, m は整数としか書いてありませんが m ≧ 0 と仮定しても証明には支障がないでしょう．なのでそう仮定します．あとは最初に挙げられた性質から
f(n)
= f((n/m)*m))
= f((n/m) + … + (n/m))
= f(n/m) + … + f(n/m)
= m*f(n/m)
と変形するだけ．

お礼

大変分かりやすかったです！素早い解答本当にありがとうございました！助かりました。

回答No.1

Tacosan

f(x+y)＝f(x)+f(y) だから.