P=a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を交代式

質問

P=a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を交代式を利用して因数分解することで質問があります。
この式はa,bの交代式であり、a,cの交代式でもあるとあるのですが、
確かにa^3b-ab^3、c^3a-ca^3の部分だけなら納得できるのですが、
この式全体としてみるとa,bやa,cを入れ替えて-Pになるとは思えません。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

文字を入れ替えて、実際に計算してみましたか？
　一例として、ａ←→ｂ　で入れ替えた場合の計算を記しておきますので、後は、ｂ←→ｃ、ｃ←→ａ　の場合をご自分で確かめてみてください。

　Ｐ(a←→b)
＝b^3a-ba^3 + a^3c-ac^3 + c^3b-cb^3
＝-(a^3b-ab^3) - (c^3a-ca^3) - (b^3c-bc^3)
＝-(a^3b-ab^3) - (b^3c-bc^3) - (c^3a-ca^3)
＝-(a^3b-ab^3 + b^3c-bc^3 + c^3a-ca^3)
＝－Ｐ