数学の解法

質問

ab=8|a-b|を満たす正の整数(a,b)をすべて求めよ。

[1]|a-b|が+の場合
　ab=8(a-b)となり

　　8=ab/(a-b)

　　　ここからaとbの値を出す方法が分かりません

[2]|a-b|が-の場合

　ab=8*-(a-b)となり

　　-8=ab/(a-b)

　　おなじくここからaとbの値を出す方法が分かりません

解き方が分かる方ヒントを下さい。また解き方が根本的に間違っていたらご指摘ください。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

この問題、絶対値はコケオドシです。だって、aとbを入れ替えてみると
　　ba = 8|b-a|
これは元と全く同じ式でしょう。つまり、これを満たす２個の正の整数のうち、大きい方をa、他方をbと思えば
　　ab = 8(a-b)
を満たしている。逆に、こっちを満たすa, bが分かれば、(a,b)と(b,a)が両方とも問題の答であることが分かります。

　さて、この式
　　ab = 8(a-b)
を観察するといくつかすぐに分かることがあります。
○　abは8の倍数である。
○　a=bということはない。もしそうなら右辺が0になるが、ab=0となる正の整数a,bはないから。
○　ab＜8a。 なぜなら、bは正なので8(a-b)＜8a
○　bは1～7のどれかである。なぜなら、aは正なので、ab＜8aの両辺をaで割ってb＜8。
　また、式を
　　a = 8b/(8-b)
と変形してみると、
○ 8bは(8-b)で割り切れる。

　以上から、bは1～7であって、8bが(8-b)で割り切れるもの。

b=1 なら　a = 8×1/(8-1)は割り切れない：×
b=2 なら　a = 8×2/(8-2)は割り切れない：×
:
b=7 なら　…
と7通りやれば、(a,b)の組み合わせを全部調べたことになる訳です。しかし、最初に説明したように、aとbを入れ替えたものも問題の答なのでした。

お礼

アドバイス有難うございました。
このように一つづつ考えずに、パターンに合てはめて答えを出すことを考えていました。
このように考えると問題(数学)が面白くなるように感じました。
目からうろこがおちる思いでした。

回答No.2

asuncion

＞[1]|a-b|が+の場合
＞[2]|a-b|が-の場合

|a-b|が0の場合は、どうしましょうか。
質問者さんの、分数にする考え方だと、|a-b|が0のときに破綻しそうです。

[1]に|a-b|=0の場合を含めて、|a-b|≧0の場合とする
ab=8(a-b)
ab-8a+8b=0
a(b-8)+8(b-8)+64=0
(a+8)(8-b)=64
さて、かけて64となる2つの数は？

お礼

このように因数分解するんですね。教えていただくと思い出します。
自力でできるように反復練習を行います。
アドバイス有難うございました。

回答No.1

Teio_Plateau

質問者の学年を教えてください。中学生なのか高校生なのか、それによって
推奨する解法が異なるかもしれません。+と-で場合分けをするところまでは正しいが、
俺ならば因数分解できるように式を調整する。

例えば、+の場合、
ab-8a+8b=0、即ち、a(b-8)+8(b-8)=(a+8)(b-8)=・・・。

こんな感じじゃないかな？

お礼

参考になりました。ありがとうございました。