高校数学の三角形の問題です 3-11

質問

一辺の長さが10cmの正三角形ABCにおいて辺AB,BC,CA上にそれぞれ点L,M,Nを選びAL=BM=CN=2cm

となるようにする　このとき、線分AM,BN,CNによって囲まれた三角形の問責を求めよ

解説は図のように3点A',B',C'をとり、△ABM∽△AB'LであるからAB'=(AB×AL)/AM=10/√21

C'M=B'L=(AL×BM)/AM=2/√21 よってB'C'=2√21-10/√21-2/√21=30/√21

△A'B'C'は正三角形であるから、求める面積は△A'B'C'=√3/4×(30/√21)^2=75√3/7となっていたのですが△A'B'C'は正三角形であるからとありますが、これが正三角形であることを明確に示せないのですが、示す事が出来ましたら是非教えてください

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞△A'B'C'の辺の長さを計算すると、メネラウスの定理により、
(AL/LB)*(BC/CM)*(MB'/B'A)=1だからMB'/B'A=16/5
AM=MB'+B'A=(16/5)B'A+B'A=(21/5)B'A、B'A=(5/21)AM
(AN/NC)*(CB/BM)*(MC'/C'A)=1だからMC'/C'A=1/20
AM=MC'+C'A=MC'+20MC'=21MC'、MC'=(1/21)AM
B'C'=AM-B'A-MC'=(1-5/21-1/21)AM=(5/7)AM
余弦定理によりAM^2=AB^2+BM^2-2*AB*BMcos∠ABM
=10^2+2^2-2*10*2*cos(π/3)=84、AM=2√21
以上よりB'C'=(5/7)*2√21=10√21/7
同様にC'A'=A'B'=10√21/7と計算出来る。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、分かりやすかったです、御二方共分かりやすかったので、どちらをベストアンサーにしようか迷いますね、もうちょっと考えてから決めますね

回答No.2

noname#215361

△ACMと△CBLにおいて、AC=CB=10cm、CM=BL=10-2=8cm、∠ACM=∠CBL=60°
よって、2辺とその間の角がそれぞれ等しく合同であり、∠AMC=∠CLB
△ABMと△AB'Lにおいて、∠BAM=∠B'AL（共通）、上の∠AMC=∠CLBから∠AMB=∠CLA=∠B'LA
よって、2角がそれぞれ等しく相似であり、∠ABM=∠AB'L=60°
∠A'B'C'は∠AB'Lの対頂角であるから60°
同様に、∠B'C'A'=∠C'A'B'=60°になるので、△A'B'C'は正三角形である

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、分かりました

回答No.1

hashioogi

⊿ABCを120度回転させて重ねると、A'、B'、C'はB'、C'、A'に重なり、⊿ABCを240度回転させて重ねると、A'、B'、C'はC'、A'、B'に重なる。だからA'B'=B'C'、C'A'。
なんていういい加減な説明では納得してもらえそうにないですね。

お礼

御返答有難うございます

補足

はい、出来れば、辺の長さ等を使ってお願いしたいですね