衝突

質問

滑らかな床上に質量Mの板がばね定数kのばねで結ばれて置かれている
質量m(＜M/2)の物体が速さv0で板に当たるときばねの縮みの最大値はいくらか
次のそれぞれの場合について答えよ
(1)e=0(2)e=1/2

アホなので補足質問を繰り返すかもしれませんが、良ければ教えてください

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回答No.1

Quarks · ベストアンサー

基本的に、「力学的エネルギー保存則」を使います。
ところが、衝突が起こるとき　ｅ＝１　でない限り、力学的エネルギー保存則は成立しません。しかし運動量は保存されます。

そこで、２つの場面に分けて考察することになります。
(ａ)衝突現象に、運動量保存則を利用して、衝突後の板・（必要なら小球も含めて）の速度を求めます。
(ｂ)衝突後は、力学的エネルギーが保存されるので、衝突直後とバネが最も縮んだときとを比較して、必要な物理量を求めます。

(1)　e=0　の時
（ａ）衝突直後、板と小球は一体になって速度Ｖになったとします。
運動量保存則から
　ｍ・ｖ0＝ｍ・Ｖ＋Ｍ・Ｖ
∴　Ｖ＝ｖ0・（ｍ/(Ｍ＋ｍ))
（ｂ）衝突直後は、まだバネは自然長のままだったと考える※のが一般的ですから、ここでもそのように考えます。衝突後、バネが押し込まれる運動をしている間、系に働く力のうち、非保存力は仕事をしていませんから、力学的エネルギーが保存されます。
バネは最大Ｘだけ縮んだとします。この瞬間、板も小球も静止します（右向きに進んできたのが、この後左に進むようになるので、進行方向を正反対向きに反転させるわけです。そんなときは、必ず静止するのです）。
（ア）運動エネルギーの変化量
　ΔＫ＝０－(1/2)(Ｍ＋ｍ)・(ｖ0・（ｍ/(Ｍ＋ｍ)))^2
　＝－(1/2)(Ｍ＋ｍ)・(ｖ0・（ｍ/(Ｍ＋ｍ)))^2
（イ）位置エネルギーの変化量
水平方向の運動なので、重力による位置エネルギーは変化しないので、考慮する必要はありません（力学的エネルギー保存則は、　位置エネルギーの変化＋運動エネルギーの変化＝０　として使うからです）。考慮するのは弾性力による位置エネルギーだけです。
　ΔＵ＝(1/2)ｋ・Ｘ^2－０
　＝(1/2)ｋ・Ｘ^2
（ウ）力学的エネルギー保存則より
　ΔＵ＋ΔＫ＝０
　∴(1/2)ｋ・Ｘ^2－(1/2)(Ｍ＋ｍ)・(ｖ0・（ｍ/(Ｍ＋ｍ)))^2＝０
これを解くと
　Ｘ＝…

(2)　e=1/2　の時
（ａ）衝突後の板の速度(ベクトル)をＶ、小球の速度（ベクトル）をｕとします。右向きを正とします。
運動量保存則から
ｍ・ｖ0＝Ｍ・Ｖ＋ｍ・ｕ
反発係数の定義から
ｅ＝－(Ｖ-ｕ)/(０－ｖ0)＝1/2
２式から　Ｖ＝…
（ちなみに、ｕ＝…　で、ｍ<(M/2)なので、ｕは負の数になります。つまり、衝突後小球は左向きに進むことになります。ですから、小球はこの後、板と再衝突する可能性はありません。もし、この条件が無いと、小球が板を追いかけて、何度も衝突を繰り返す可能性があるため、問題は複雑になってしまいます）
（ｂ）衝突後、小球は板から離れますから、これ以降の考察では小球は考慮しなくて良いです。
「バネと板」の系だけに着目します。
ΔＫ＝０－(1/2)Ｍ・Ｖ^2
ΔＵ＝(1/2)・ｋＸ^2－０
ΔＫ＋ΔＵ＝０ですから
Ｘ＝…

※現実には、衝突のとき、２物体が接触し始め、その後お互いに反発力を受けながら速度を変化させていきます。このように、時間が経過するので、その間、バネは徐々に縮み始めています。こうなると考察は複雑になるので、通常は、接触時間は０だったとして、衝突時のバネの縮みを考慮しないことになっています。

補足

回答ありがとうございます！
(1)の(a)と(b)は必要なのですか？(ア)と(イ)だけで事足りてるように見えます

回答No.2

Quarks

ANo.1です。

>(1)の(a)と(b)は必要なのですか？

(b)の（イ）で使われている
　Ｖ＝ｖ0・（ｍ/(Ｍ＋ｍ))
は、（ａ）から導き出した結果を使っていますよ。
ですから（ａ）の作業は必要なのです。

お礼

なるほど
ありがとうございました！