解析学の問題教えて下さい！

質問

(問)
μ(A)＜∞
f∈Μ(A)として｛fn｝は、A上でfに概収束かつ一様積分可能とする。

(1)
lim∫｜fn - f｜dμ（n->∞）

特に
lim∫fn dμ
= ∫f dμ

(2)
K = sup｛∫｜fn ｜dμ：n=1,2‥｝＜∞

全て積分範囲は
Aである

(1)(2)を示せ

この問題で
(1)は、何とか解けましたが

(2)がどう考えても
わかりません

∫｜fn｜dμ
≦∫｜fn - f｜ dμ＋ ∫｜f｜dμ

を使うらしいのですがよくわかりません

教えてもらえないでしょうか？

お願いします！

回答No.11

ramayana

「有限の範囲なら何故そうなる（最大値が存在する）んですか？」

当たりまえのことを質問されても・・・。説明が難しいです。何個か数字が並んでいたら、その中に最大値があるというのが、そんなに不思議ですか。

「∫｜f｜dμは、何故∞を取らないのでしょうか」

これは、今までの議論をすべてひっくり返す質問ですね。∫｜f｜dμ＜∞を証明するのが難しいわけでないですが、下手をすると積分の定義にまで遡ることになりそうです。教科書をもう一度読まれるのがいいのではないでしょうか。

お礼

何故最大の値をとるのかでなく
何故∞を取らないのかが分からないです.

補足

間違えました！
有限の範囲ならば何故∞を取らないのかが分かりません！

本当にすみません！

回答No.10

ramayana

（１）　「max｛1≦n≦m｝∫｜fn- f｜dμが何故max｛m＜n｝∫｜fn -f｜ より小さいのか」

そんなことは言っていません。

一般に X、A、Bを実数として、A > B なら

　　max{X, A} ≧ max{X, B}

です。

今回のケースでは、n>m なる nで ∫｜fn - f｜dμ が1より小さくなるようにmを定めたのですから、

　　sup[n>m]∫｜fn - f｜dμ ≦ 1

です。そこで

　　X = max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ
　　A = sup[n>m]∫｜fn - f｜dμ
　　B = 1

と置けば、

　　max{ max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ, sup[n>m]∫｜fn - f｜dμ}
　　≧ max{ max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ, 1}

となります。

（２）　「max｛1≦n≦m｝∫｜fn- f｜dμの方は、∞をとる可能性があるのではないでしょうか」

∞をとる可能性はありません。必ず有限の量です。なぜなら、nは、1以上m以下という有限個の範囲でしか動かないからです。

（３）　「supは、分配法則みたいに使えるのですか」

一般に次のことが言えます：

Fn、Gn（n = 1, 2, …）を、それぞれnによって定まる量とします。

このとき

　　sup[n=1,2,…](Fn+Gn) ≦ sup[n=1,2,…] Fn + sup[n=1,2,…] Gn

が成立します。分配法則よりむしろ、絶対値の三角不等式に似ていますね。

お礼

遅くなって申し訳ありません!!
本当にありがとうございます！

ほぼ理解してきましたが

（２）　「max｛1≦n≦m｝∫｜fn- f｜dμの方は、∞をとる可能性があるのではないでしょうか」
∞をとる可能性はありません。必ず有限の量です。なぜなら、nは、1以上m以下という有限個の範囲でしか動かないからです。

これが分からないのですが、有限の範囲なら何故そうなるんですか？

あと
∫｜f｜dμは何故を取らないのでしょうか？

本当に申し訳ありません!!

補足

申し訳ありません
質問間違えました

∫｜f｜dμは、
何故∞を取らないのでしょうか？

本当にすみません！

回答No.9

ramayana

（１）　「∫｜fn｜dμ≦∫｜fn - f｜dμ＋ ∫｜f｜dμ　…　何故こうなるか」

　　A = fn - f
　　B = f

とすると、

　　|A+B|≦|A|+|B|

で、A+B = fn なので、

　　|fn| ≦ |fn-f| + |f|

となり、両辺の積分をとって

　　∫｜fn｜dμ≦∫｜fn - f｜dμ＋ ∫｜f｜dμ

を得ます。

（２）　「sup∫｜f｜dμは、どうなったのでしょうか」

supというのは、「nが自然数全体を動くときの上限」という意味で使っています。sup∫｜f｜dμ を書き下すと、次のようになります。

　　sup∫｜f｜dμ = sup{∫｜f｜dμ：n=1,2,…}

ところが、∫｜f｜dμ は、nに無関係な量ですから、実は

　　{∫｜f｜dμ：n=1,2,…} = {∫｜f｜dμ} 　（たった１つの要素からなる集合！！）

です。よって

　　sup{∫｜f｜dμ：n=1,2,…} = sup{∫｜f｜dμ} = ∫｜f｜dμ

となります。

お礼

凄く分かりやすかったです!!

本当にありがとうございます！

何度も質問ばかりで申し訳ないのですが、

No 6の回答で
sup[n≧1]∫｜fn - f｜dμ
　= max( max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ, sup[n>m]∫｜fn - f｜dμ)
　 ≦ max( max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ,1)
　 < ∞

と買いてますが
max｛1≦n≦m｝∫｜fn- f｜dμ
が何故
max｛m＜n｝∫｜fn -f｜ より
小さいのか
分かりません！

max｛1≦n≦m｝∫｜fn- f｜dμ
の方は、∞をとる可能性があるのではないでしょうか？

あとsupは、分配法則みたいに使えるのですか？

何度もすみません！

回答No.8

ramayana

ああ、記号を省略していたのが誤解の源だったようですね。

ANo.3からANo.7まで、とくに説明なくsupと書いていたのは、「nがすべての自然数を動くときの上限」というつもりでした。

例えば、sup ∫｜fn｜dμと書いていたのは、sup{∫｜fn｜dμ：n=1,2,3,…}のつもりです。

また、sup[ ]のような書き方で、[ ]の中にnが動く範囲を示したものもあります。

例えば、ANo.6でsup[n>m]∫｜fn - f｜dμという式を書きましたが、これは、「nがmより大きい自然数全体を動くときの上限」、すなわち、sup{∫｜fn - f｜dμ：n=m,m+1,m+3,…} を表しています。

同様に、ANo.6でmax[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμという式を書きましたが、これは、集合{∫｜fn - f｜dμ：n = 1,2,…,m}の最大値を表したつもりです。

お礼

分かりやすく回答して頂きありがとうございます！

何度も申し訳ないのですが
No4の回答で

今
sup∫｜fn｜dμ＜∞
を示そうとして,
∫｜fn｜dμ
≦∫｜fn - f｜dμ
＋ ∫｜f｜dμ

（申し訳ありませんが、何故こうなるかもわかりませんか？）

であるから
両辺supをとって
sup｛∫｜fn - f｜dμ＋ ∫｜f｜dμ｝

を考える

sup｜fn - f｜＜∞
というのは、分かりましたが

sup∫｜f｜dμは、
どうなったのでしょうか？

何度も質問して
本当に申し訳ありません!!

回答No.7

ramayana

「∫｜fn｜dμ＜∞ を示すだけでは、sup ∫｜fn｜dμ＜∞ を言えた事には、ならないのですか？」

ならないですね。

例えば、関数列 {fn} が

∫｜fn｜dμ = n

となるようなものだったとします。この場合、個々のnについては∫｜fn｜dμ＜∞ですけど、sup ∫｜fn｜dμ＝∞ です。

お礼

ちょっと分からないのですが

supは、上界の最小値ですが

その∫｜fn｜dμがnという値に決まってるならば
個々がnと決まってるならば
supもnにならないのでしょうか？

そこがいまいちわかりません……

本当にすみません！

補足

No6の回答で
max｛1≦n≦m｝∫｜fn- f｜dμ

が何故

max｛m＜n｝∫｜fn -f｜ より

小さいのか
分かりません！

疑問ばかりで誠に申し訳ありません……

回答No.6

ramayana

もう少し簡潔な証明を思いつきました。

　　lim∫｜fn - f｜dμ=0

より、あるmが存在して、n>mなるすべてのnに対して

　　∫｜fn - f｜dμ < 1

となります。よって、

　sup[n≧1]∫｜fn - f｜dμ
　= max( max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ, sup[n>m]∫｜fn - f｜dμ)
　 ≦ max( max[1≦n≦m] ∫｜fn - f｜dμ,1)
　 < ∞

となります。

お礼

何度も回答ありがとうございます！

遅れて誠にすいません！

少し聞きたいのですが

この問題で
sup｛∫｜fn｜dμ｝＜∞

を示すとき

∫｜fn｜dμ＜∞
を示すだけでは、

sup ∫｜fn｜dμ＜∞を言えた事には、ならないのですか？

補足

何度も回答ありがとうございます！

遅れて誠にすいません！

少し聞きたいのですが

この問題で
sup｛∫｜fn｜dμ｝＜∞

を示すとき

∫｜fn｜dμ＜∞
を示すだけでは、

sup ∫｜fn｜dμ＜∞を言えた事には、ならないのですか？

回答No.5

ramayana

「lim∫｜fn - f｜dμ=0より何故sup｛∫｜fn -f｜dμ｝＜∞なのですか？」

ANo.3と同じ論法になります。lim∫｜fn - f｜dμ= 0より弱い次の前提で十分です。

[1]　　lim∫｜fn - f｜dμ< ∞

まず、個々の固定されたnに対して

[2]　　∫｜fn -f｜dμ < ∞

となるのは、よろしいでしょうか？これは、{fn}が一様可積分であって、かつμ(A) < ∞ であることから導かれます（本当は「一様」でなくてもよい）。

もし、結論に反して

[3]　　sup｛∫｜fn -f｜dμ｝= ∞

だったと仮定しましょう。すると、[2]と[3]により

　　∫｜fn -f｜dμ > 1

となるnがあるはずです。そのnをn_1とします。次に、同じく[2]と[3]により

　　∫｜fn - f｜dμ > ∫｜fn_1 - f｜dμ + 1
　　n > n_1

となるnがあるはずです。そのnをn_2とします。次に、同じく[3]により

　　∫｜fn - f｜dμ > ∫｜fn_2 - f｜dμ + 1
　　n > n_2

となるnがあるはずです。そのnをn_3とします。
同じことを繰り返して、n_4, n_5, … を選んでいくことができます。すると、各kに対して

　　∫｜fn_k - f｜dμ > k

ですから、

　　　lim[k→∞]∫｜fn_k - f｜dμ = ∞

です。

すなわち、{fn}の無限部分列{fn_k}で、∫｜fn_k - f｜dμが無限大に発散するものが存在したことになります。これは、[1]に矛盾します。この矛盾は、[3]を仮定したことに起因するものです。したがって、[3]が否定されなければなりません。すなわち、

　　sup｛∫｜fn -f｜dμ｝< ∞

です。

回答No.4

ramayana

「∫｜fn｜dμ≦ ∫｜fn - f｜dμ ＋ ∫｜f｜dμ を使っての証明は、出来ないでしょうか？」

たいして変わり映えしませんが、次のはどうでしょうか。

∫｜fn｜dμ≦ ∫｜fn - f｜dμ ＋ ∫｜f｜dμ

⇒　sup∫｜fn｜dμ≦ sup∫｜fn - f｜dμ ＋ ∫｜f｜dμ
　　　（両辺のnに関する上限をとった）

⇒　sup∫｜fn｜dμ≦ ∞
（lim[n→∞]∫｜fn - f｜dμ=0 よりsup∫｜fn - f｜dμ<∞なので）

お礼

lim∫｜fn - f｜dμ=0

より
何故sup｛∫｜fn -f｜dμ｝＜∞

なのですか？

本当にすみません！

回答No.3

ramayana

∫｜f｜dμ < ∞ は、仮定されていると思っていいのでしょうね。また、(1)で

　　lim∫fn dμ= ∫f dμ

が証明済みということなので、f, fnの代わりに|f|, |fn|を置いても同じことが言えます。よって、

[1]　　lim[n→∞]∫|fn|dμ = ∫|f|dμ < 0

が分かっているものとします。

固定されたnに対して、「一様積分可能（一様可積分？）」とμ(A)＜∞の仮定により、

　　∫｜fn｜dμ< ∞

です。したがって、もし

[2]　　sup｛∫｜fn ｜dμ：n=1,2‥｝= ∞

なら、{fn}の無限部分列 fn_1, fn_2, … が存在して、

　　lim[k→∞]∫|fn_k|dμ = ∞

とならなければなりません。よって、元の関数列{fn}の積分については、その上極限が無限大にならなければなりません：

　　lim_sup[n→∞]∫|fn |dμ = ∞

これは、[1]と矛盾します。よって、この矛盾の出発点になった[2]が、否定されることになります。

お礼

回答ありがとうございます！

(1)をうまく使いやっていくのですね！
これも理解出来そうなのですが

∫｜fn｜dμ
≦ ∫｜fn - f｜dμ ＋ ∫｜f｜dμ

を使っての証明は、出来ないでしょうか？

何度も本当に申し訳ありません!!

回答No.2

alice_44

普通は、「一様可積分」って和訳するんだよ。

補足

普通は、一様可積分と言うんですね！
ありがとうございます！

問題分かりませんか？