集合の問題！
集合の基礎的な問題です。
わからなくてかなり困っています！
明日テストがあるので、これらの問題をどうしても理解したいです。
自分で解いてみたのですが、以下のことくらいしかわかりませんでした。
たぶん証明を見れば理解できると思うので、至急回答お願いしたいです。
よろしくお願いします！！><
＜問題＞
問１：FがΩの集合体であるとき、次を示せ。
(1)Ω∈F
(2)A,B∈Fならが、A⊂B,A＼B,AΔB∈F
(3)A1,A2,…,An∈Fならば、∪(i=1,n)Ai,∩(i=1,n)Ai∈F
問２：集合X,Yの濃度が同じである、すなわちX～Yは同値関係であることを示せ。
問３：ベルンシュタインの定理を用いて、次を示せ。
(1){x｜0＜x≦1}～{x｜0≦x≦1}
(2){(x,y)｜0＜x≦1,0＜y≦1}～{x｜0≦x≦1,0≦y≦1}
(3)a＜bであるとき、[a,b]～R^2
(4)a＜bであるとき、[a,b]～D 但し、D⊂R^2でDは少なくとも１つの内点をもつ。
問４：Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。
A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈Fとするとき
(i)∩(i=1,∞)Ai∈F
(ii)lim(n→∞)supAn∈F
※問４は記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。問１の(３)の記述も同じくです。
＜考えたもの＞
問２：X～Yということから濃度の定義より、XとYの間には全単射がX→Yが存在する。その上で、反射律・対称律・推移率を示せばよい。
という考えまでは至ったんですが、やってみようとしてもここからの証明の仕方というか記述の仕方がわかりません…
問４：（ii)は、lim(n→∞)supAn∈F＝∩(i=1,∞)(∪(i=1,∞)Ai)：上極限集合
なので、これがFに含まれることを証明すればいいんだろうとは思うのですが記述の仕方がいまいちわかりません。(i)もどのように記述していけばよいのでしょうか？
問１、問３は証明の見通しが立ちません…。
特にこの２つがわからないです。
お礼
回答ありがとうございます！ 定義は、補足に書きました。お願いします！
補足
一様可積分ともいいます。 定義は、 （Ｘ.B.μ）を測度空間とし、A∈Bとする Μ（A）に属する関数属がA上で一様積分可能または、一様可積分であるとは 任意のε＞0に対してあるδが存在して E⊆A, E∈B, μ（E）＜δ ならば ∫｜f｜ ＜ ε 積分範囲はE が関数属に含まれる全てのfに対して成立することです!!