数の大小はどのように比較されるのでしょうか？

質問

具体的な二つの数が与えられたときに、その大小を比較するにはどうすればよいでしょうか？
例えば1,2という二数が与えられたとき、大小を直感に頼らず比較するにはどのように理論を展開すればいいでしょうか。

質問を少しだけ言い換えると
　　a-b > 0 　ならば　　a>b
なので、ある数が0より大きいか小さいかを判断すれば大小の比較ができると思います。
では任意の実数が与えられたとき、それが0より大きいか小さいかを判断するにはどうすればいいでしょうか。

理系大学生ではありますが、あまり深い知識もないので、お手柔らかにお願いします。

回答No.10

hogehogeninja

整数の場合、ペアノの公理があります。(URL)

これで自然数を定義すると順序関係がさだまり、
有理数、実数と拡張する段階で順序関係が順に定義されているのでは。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0

回答No.9

vvwvv

自然数の場合なら、その定義ですでに和に相当するものが入っているので、
例えば1<2の証明なら、1<1+1=2ということで良いのではないかと思います。
実数に拡張するには少し壁があるかもしれませんが。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0

回答No.8

noname#101087

>全順序集合である時にa ≦ b か b ≦ a のどちらか具体的に決定する方法はあるのでしょうか？

「本質直観」はカテゴリ・ミステイクらしいので、数学的一言だけ .... 。
「順序辞書」を参照して判別できます。

回答No.7

mugi-cha

とんちんかんな解答でしたらすいません。
数の概念が具体的にどう形成されたかわかりませんが
１より１大きいものを２と定義する(２と呼ぶ）と
いうルールで成り立っているのが数ではないでしょうか？
(２は１より大きい、１は２より小さい）
直感とおっしゃられているのは、当たり前になってしまって
定義する必要もないとお考えになられている規則のことなのではないでしょうか。
それがもっとも大切なルールであると思うのですが。
どういう記号を使って(不等号を使わずに)大小を
表せるのかということもこれこれこういうルールで
表しますといっているだけで、
なんだか私には質問が本末転倒に思えてしまうのですが。

＞大小関係を不等号(<,>,≦,≧)を使わずに定義するとどのようになるのでしょうか？
＞aがbより大きいとはどういう状態(関係)なのでしょうか？
＞二数a,bがどのような関係であるときa<bというのでしょうか？

思考の助けになれば幸いかと思い書かせていただきました。

回答No.6

noname#101087

いまだにご質問の趣旨を理解しかねてますが、何となく「辞書的順序」を連想しました。
コンピュータに数などの大小(というより順序)を判定させるための機械的なルールです。
　　数字なら、{0,1,2, .... ,9}
　　アルファベットなら、{a,b,c,d, ..... ,x,y,z}
などです。
正負、小数点など、記号を付加しても基本は同じ。

人間ならば経験の累積で無意識に処理できていることも、マシンにやらせるとなると、
処理の過程をクールに分析・構成しないといけません。

補足

解答有難うございます。

wikipediaの順序集合の頁に
「A の任意の元 a, b について a ≦ b か b ≦ a のどちらかが成り立つとき全順序集合という」
と書いてあります。
この性質を持つとき全順序集合であると云っているのでしょうが、では全順序集合である時にa ≦ b か b ≦ a のどちらか具体的に決定する方法はあるのでしょうか？

自然数で考えると1≦2か2≦1のいずれかが成り立ち、この場合は1≦2であるんだと思います。
しかしなぜ1≦2だと思ったのか聞かれると、まったく説明ができません。
論理的に導き出した結論ではなく、直感でそう思っただけだからです。

大小関係を不等号(<,>,≦,≧)を使わずに定義するとどのようになるのでしょうか？
aがbより大きいとはどういう状態(関係)なのでしょうか？
二数a,bがどのような関係であるときa<bというのでしょうか？
例えば、A={x|x∈R,x>0}という集合を不等号を使わずに具体的に構成するにはどのようにすればよいのでしょうか？

私の聞きたいことが伝われば幸いです。

回答No.5

noname#26313

数の認識は、自然数に始まり、整数、実数、複素数、・・・ と拡がっていきました。
自然数しか考えない時、正負の区別はないのですから、例えば右に10歩でも、左に10歩でも「10」しか使えません。
しかし、自然数に0を含めた集合に限れば、2=1+1、つまり、2を1と比較すると、2は0から1進めたのを、更に1進めたものなので1より大きいと判断されます。0から左の方向に進む数であろうと、右の方向に進む数であろうと、方向には関係せず、大小は判断されます。絶対値での比較です。

自然数を超えて、正負を導入すると、0からどちらの方向に進むのに着目するかで、正負が決められます。
負の数は、自乗してそれができる数を考えようとすると虚数を導入する必要があり、正の数と区別できると思われるかもしれませんが、それは0から進むのに着目している方向であるかどうかによります。
つまり、『任意の実数が与えられたとき、それが0より大きいか小さいかを判断することはできない』と言えるのではないでしょうか。

回答No.4

fool_ish

状況がいまいち分からないなあ．
> 任意の実数が与えられたとき、それが0より大きいか小さいかを判断するにはどうすればいいでしょうか。
とあるけど，任意の実数というのは，どういう形式で与えられるの？
10進展開したかたちで与えられれば符号を見れば自明
（あなたがお書きの，2と1の大小を比較する場合など）なのだから，
きっと，初等関数で表せないような定積分の値などのように，一見して正負が見えない場合も含むのだろう．

だとすると，つぎの疑問として，
手計算を想定しているのか，それとも計算機上のはなしを想定しているのか
が浮かぶ．
#2へのお礼を読むと，計算機も想定しているのかと思うが，
もし手計算しか許されないのであれば，
式をぐっと睨んで経験と勘に頼って判断する部分
（いわゆる，上から/下から評価するという作業）はどうしても必要だろう．
計算機を用いてよいなら，計算誤差を加味した範囲でなら（これが厄介な問題だが）正負の判定はできる．
#それらの計算を根性で手計算により行う，という方法もなくはないが．

多くの関数は，その級数展開がよく知られているし，
微分/積分なども，多くの場合は数値的に行える．これらに興味があれば，数値計算とよばれる分野を勉強するとよいだろう．

補足

解答有難うございます。

この質問自体、ほんの興味本位なんです。だからどういう状況を想定しているのか、自分でもはっきりわからないところもあります。
元々、代数学の本を読んでいて次のような一文がありました『xがAの元であるとすると-xもAの元である、x,-xのうちいずれかは正なので、xが正数の場合を考えればよい』
このとき、自分が思ったのはx,-xのうち具体的にどちらが正なのか判定する方法は書かれていないな、ということでした。
そして思い返してみると、不等式を習ったときなども、(直感的に1より2が大きいので)当然のように1<2と習いますが、1より2が大きいことの根拠や数の大小の判定の仕方などは習った覚えがありません。
ですから、もっと深く知りたいと思い今回の質問をしました。

確かに10進数で与えられていれば、+符号ならば正,-符号ならば負といわれればその通りかとも思いますが、単にそれだけの理解しかできないんでしょうか？
数学では無限に存在する自然数を定義するときも、表記にかかわらず数組の公理だけで構成していきますよね。
そんな感じで、数の大小の判定についても本質的な理解がしたいなと思ってます。

回答No.3

mgsinx

aが正数と負数のどちらであるかの判定について。
aは0でないとすると、
√(a^2)=aのとき、aは正数
√(a^2)=-aのとき、aは負数
となります。

補足

解答有難うございます。

自分は√xを、『二乗するとxになる数のうち正のもの』と理解しています。
つまり二乗してxになる数は正数と負数のものの二つがあり、無理関数を一価関数として扱うために値を正数に制限するんだと思います。
ですから、√(a^2)という値を決定するために、正負の判定を必要とすると思うのです。

回答No.2

kabaokaba

ケースバイケースです

例えば。。。。円周率π．これと3.14を比較するような話
πにはいくつかの定義がありますが，
例えば，三角関数（正弦・余弦）を級数で定義して
それの周期性を証明して，
周期の半分をπと定めるということをした場合，
このπが3.14...だということを証明するのは
それほど楽ではないです．
＃解析的に決めたこのπが幾何的なπであることを示せば
＃幾何の話にもってはいける
＃＃πの近似値は何年か前に東大の入試にでてましたね

同様に自然対数の底 e とか，各種の定数は
それぞれいろいろな手法で計算されます．
知りたい値が（扱いやすい）方程式の解になってるなんてケースは
ニュートン法のような比較的統一的な手法があります．

数学では，
・何かが存在することを示す
・その性質を示す
という流れが多く，
値の近似値などは「性質」といえるでしょう．
それぞれの対象に応じていろいろな手法が使われます．

補足

解答有難うございます。

純粋に数の大小比較に限った解答をいただけたらと思います。
例えば3とπとの大小比較でしたら、πの近似値が必要に応じて十分な精度与えられるという条件付きで結構です。
ですので、3と3.14の大小比較や3と3.1415926535との大小比較などと読み替えて、数の比較をする場合です。
有限桁の近似では大小比較に足りないような場合ならば困ってしまいますが。

ですので、ある数が正数であるか負数であるかの判定の仕方を教えてもらえたらと思います。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

mgsinx

任意の実数をaとしたとき、
-a<aだったらa>0 (aは0より大きい)
-a>aだったらa<0 (aは0より小さい)
となります。

補足

解答有難うございます。

確かに仰る関係は成り立つように思います。参考になります。
ではaと-aの大小比較はどのようにしたらいいのでしょうか？
aと-aのうちいずれかは正数でいずれかは負数であることはわかります、しかしどちらが正数でありどちらが負数であるかどのように判断すればいいのでしょうか？