√のある数の大小比較について

質問

(1+√13)/2と5-√7の大小比較をするには、
どのような方法がありますか？
二乗したり、プラスマイナスしてみたりしましたが、
うまくいきませんでした。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1+√13)-2(5-√7)=√13+2√7-9 の符号を調べる。

正数 「2√7+√13+9」をかけても符号は変わらないから
(√13+2√7-9)(√13+2√7+9)=(√13+2√7)^2-81=4(√91)+13+28-81
=4(√91)-40=4{(√91)-10}=4{(√91)-(√100)}＜0

したがって
(1+√13)-2(5-√7)=√13+2√7-9＜0
(1+√13)＜2(5-√7)
...
あとは良いですね。

お礼

どうもありがとうございます！
そういうやり方があるんですね！
目からウロコ的でした。

補足

それから、教えていただいた方法以外にもやり方はあるのでしょうか？
もしありましたら、よろしくお願いします。

回答No.2

info22

#1です。

他のやり方
(5-√7)＞√25-√7＞0なので
[(5-√7)/{(1+√13)/2}]-1＝2(5-√7)/(√13+1)-1
＝(10-2√7-√13-1)/(√13+1)＝(9-2√7-√13)/(√13+1)
分子・分母に　(9-2√7+√13)＞0をかけて
＝(9-2√7-√13)(9-2√7+√13)/{(√13+1)(9-2√7+√13)}
＝12(8-3√7)/{(√13+1)(9-2√7+√13)}
＝12(√64-√63)/{(√13+1)(9-2√7+√13)}＞0
∴[(5-√7)/{(1+√13)/2}]＞1

あとは良いですね。

お礼

ありがとうございます！
分数の形にするんですね。
それで、今度も和と差の積にして計算する。。
何かそのあたりにひとつのポイントがあるのでしょうか？

またの機会にも、よろしくお願いします。