大小比較問題

質問

次の数の大小を比較せよ。
3√7, 4√21, √3

3√,4√はかけてるんじゃなくて３乗根、４乗根です。

普通に12乗してやるのかなあーと思ったんですけど、12乗したら結構数でかくなるし、ただ何乗かするのは一つ前の問題で出てたんで違う解法があるのかなと思うんですが……。

3,7の数をどうにかするんだろうなーってことは想像つくんですけど、そこからどうすりゃいいかわかんなくて困ってます……。

わかる方教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

noname#20377 · ベストアンサー

んー。大して大きくならないんじゃない？

{7^(1/3)}^12 = 7^4 = 7 ^ 3 * 7

{21^(1/4)}^12 = 21^3 = 7^3 * 3 ^ 3

3^(1/2)^12

= 3 ^ 6

よって最も大きいのは21^(1/4)となる
(なぜなら3 < 7 , 7< 3^3)

3^6 =27 ^ 2
7^4 =49 ^ 2
だから

3^(1/2) < 7^(1/3) < 21^(1/4)

って話では？

回答No.5

masuda_takao

本問の場合は、直接 12 乗しても大した手間ではないと思います。

(7^{1/3})^12 ＝ 7^4 ＝ 2401
(21^{1/4})^12 ＝ 21^3 ＝ 9261
(√3)^12 ＝ 3^6 ＝ 729

　よって、以上の12乗根をとって
√3＜7^{1/3}＜21^{1/4}
...です。

　対数で比較するなら、常用対数の近似値
log3 ＝ 0.477、log7 ＝ 0.845
...を用いれば、

log(7^{1/3}) ＝ 0.282
log(21^{1/4}) ＝ 0.331
log(√3) ＝ 0.239

...となり(小数第４位四捨五入)、同じ結論を得ます。

お礼

すいませんたいして大きくなんなかったですね^^;
みなさんありがとうございます

回答No.4

mayan99

別な解法

2^2＝4 ３は４より１小さい
2^3＝8　 ７は８より１小さい
2^4＝16 　21は16より５大きい

これで分かりますね。

私は、この手の問題は、いつもこんな風に適当に求めています。

回答No.3

mayan99

こういうのは数字を見てキーとなる数字を探します。
計算しなくとも簡単な暗算と雰囲気で答えが分かりますが念のため少しだけ計算します。

４√２１は２以上だとすぐ分かります。
他は２以下です。
これで一つ決まり

√３は約1.73ですね。
（１０くらいまでの√は覚えておくものです）

３×１．７３は約５．２

これで答えが出ました

√３＜３√７＜４√２１　ですね。

回答No.2

Tofu-Yo

べき乗計算を避けて大小を比較したいということですね？この程度なら気合で行ける気もしますが、しいて言えば以下のような方法がありますかね・・・
題意を言い換えると7^4,21^3,3^6の比較ですね。これにlogをとってみると、
4log7, 3log21(=3{(log7)+(log3)}), 6log3・・・（＊）
の比較となります。logの底が3だったとするとさらに
4log7…(1), 3+3log7…(2), 6…(3)
底が3のときlog3<log7<log9⇔1<log7<2
なので、(2)＞(1)、(2)＞(3)がわかります。あとは(1)と(3)の比較ですが…これにはもっとlog7を細かく見ないと評価できません。
3^(3/2)={3^(1/2)}^3<1.8^3=5.832より、
log7>log5.832>log{3^(3/2)}=3/2=1.5
∴4log7>6
以上から(2)＞(1)＞(3)。・・・う～ん余計計算めんどくさい・・・
低を10やeにとったときのlogの値の表がある場合は（＊）の段階で比較すればいいんですが…。