解と係数の関係について

質問

解と係数の関係について

上の方法を用いて、
「x^2+(k-3)x+k=0を重解を持つような定数kの値と、その時の重解を求めよ。」という問題でご質問します。

次の連立方程式のαがうまく消去できないのでご指導いただけると嬉しいです。

x=αとおくと、
方程式の左辺は
x^2+(k-3)x+k=(x-α)^2と因数分解できる。
両辺の係数を比較して

k-3=-2α ...(1)
k=α^2 …(2)

消去すると、k=(-k-3/2)^2

よろしくお願いします:)

回答No.6

178-tall

>要旨は
>k-3=-2α ...(1)
>k=α^2 …(2)
>のαを消去したいということです

まず、
>x=αとおくと、
　　↑
…これは錯誤の一因になりそう。
ひとまず無視。

>k-3=-2α ...(1)
>k=α^2 …(2)
　　↓
たとえば (2) を (1) へ入れると、
　α^2 - 3 = -2α … (1)'
　α^2 + 2α - 3 = (α+ 3)(α- 1) = 0
　α = -3 ＆ α = 1
これを (2) へ入れて、
　k = 9 ＆ k = 1

お礼

回答ありがとうございます。
計算部分に戸惑っていたので、とても助かりました。また機会がありましたら、ご教示いただけると嬉しいです。

回答No.5

noname#215361

試験の際には、いかに早く正確に解けるかが要求されるので、いくら考え方が正しくても、時間が掛かったのでは意味がありません。

判別式D=（k-3）^2-4k=k^2-10k+9=0

これで、判別式で考えた方が、いかに早く正確に解くことが出来るかが分かると思います。

お礼

その場合には当意即妙に対応したいと思っています。回答ありがとうございます:)

回答No.4

bran111

いいですね。2つの意味で賛成します。

(1)重解⇒判別式＝0などという固定観念にとらわれず、自分の考えを提示した。

(2)重解⇒判別式＝0という手法が個人的に大嫌いです。あなたはそれに賛同された。

では質問に答えます。

k-3=-2α ...(1)
k=α^2 …(2)

全く正しい。

k=(-k-3/2)^2　⇒　間違いやすい：k=[-(k-3)/2]^2と書くこと。

つまり

k=[-(k-3)/2]^2=[(k-3)/2]^2

両辺に4をかけて

4k=(k-3)^2=k^2-6k+9

ゆえに

k^2-10k+9=0

因数分解して

(k-1)(k-9)=0

答え　ｋ＝1またはｋ＝9

重解の値も計算しておく方がよい。

(1)よりa=(3-k)/2=1,-3

補足

(1)(2)からkを消すと

a^2-3=-2a

a^2+2a-3=0

(a-1)(a+3)=0

a=1またはa=-3

つまり重解は二つあって各々に対して

k=1または9

もちろん結果は同じです。

お礼

回答ありがとうございました。
肯定してもらえるとなんだか嬉しいです:)

説明もわかりやすく納得できました。

回答No.3

shintaro-2

>要旨は
>k-3=-2α ...(1)
> k=α^2 …(2)
>のαを消去したいということですので

ということであれば、お考えの通りで良いのでは？

回答No.2

shintaro-2

>x=αとおくと、

???

>「x^2+(k-3)x+k=0を重解を持つような定数kの値と、その時の重解を求めよ。」という問題でご質問します。

「ご質問」は相手がするもの。
自分の言葉に使うものではありません。

2次方程式が重解（重根のこと？）を持つということは、
解の公式の判別式＝０ということなので

普通は
(k-3)^2-4k=0を解きます。
k^2-10k+9=0を満たすｋと、その時のｘは幾つという問題なのでは？

補足

ご指摘感謝いたします:)
私の説明不足で誤解を招いてしまったようなのですが、判別式D=b^2-4acが0のときに重解をもつのでもちろんそのようにして解くことも可能ですね。
しかしながら、解と係数の関係
α+β=-b/a
αβ=c/a
を用いて解く別解があったので、そちらの解き方について質問させていただきました。
要旨は
k-3=-2α ...(1)
k=α^2 …(2)
のαを消去したいということですので、初歩的な質問になってしまいますが、お力添えいただけましたら幸いです。

回答No.1

maiko0318

「解と係数の関係について」であれば

ax^2+bx+c=0において、

D=b^2-4acとおき、
D>0なら2つの実数解を持つ
D=0なら重解
D<0なら2つの虚数解を持つ

となります。
Dをもとめれば簡単にわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
また何かありましたら、ご意見頂けると嬉しいです。