図形と計量（高校数学Ｉ）

質問

図形と計量の問題で
「半径２の球に高さ３の円錐が内接している。球と円錐の体積比と表面積比を求めよ」
が分かりません。ヒントによると円錐の底面は√３になるそうですが何故でしょう。球の体積と表面積は分かるのですが・・・。
ちなみに答え(球：円錐)は体積比３２：９、表面積比は１６：９だそうです。
確かに円錐の底面の半径が√３ならこのようになるのは分かりますが、どうやって考えればいいのでしょう？

回答No.1

shinkun0114 · ベストアンサー

この立体図形を平面に投影して考えてみましょう

半径２の球と、これに内接する高さ３の円錐
　　↓
半径２の円と、これに内接する高さ３の二等辺三角形

・円の中心をO
・二等辺三角形(円錐)の頂点をA・B・C(AB=ACとします)
・さらに頂点Aから、辺BCに垂線を降ろし、交点をD

として、図を書いてみてください。

ここで、直角三角形OBDについて考えてください。
半径２の円ですから、OA=OB=2
高さが3ですからAD=3であり、OD=AD-OA=1
角BODが直角ですから、
　BD＝√(OB^2-OD^2)＝√(2^2-1^2)
　　＝√3

BDは、円錐の底面の半径ですよね？

お礼

回答ありがとうございます。
詳しく教えて頂きまして助かりました。
「平面図形として」というのは私が所持している参考書にも書いてありましたが、私は「sinでも使うのかな？でも無理っぽいし・・・」とかなり的外れな事を考えておりました（＾＿＾；）。

回答No.2

shinkun0114

#1です。
一部記載ミスがありました^^;

×　角BODが直角ですから、
○　角BDOが直角ですから、

失礼いたしました<(_ _)>