円柱を切断した体積

質問

問題
半径１の円を底面とする高さ１/√２の直円柱がある。底面の円の中心をoとし直径を１つ取りＡＢとおく。ＡＢを含み底面と４５°の角度をなす平面でこの直円柱を２つの部分に分けるとき、体積の小さい方の部分をＶとする。
Ｖの体積を求めよ。

この答えは、
π√２/１６＋１/3－５√２/２４
で合っていますか。
よろしくお願いします。

回答No.2

info222_

>この答えは、
>π√２/１６＋１/3－５√２/２４
>で合っていますか。
求める体積Vの1/2倍にあたります。
2倍すれば求める体積Vになるので、計算をチェックしてみて下さい。

計算
xyz座標軸を
原点O(0,0,0), A(-1,0,0), B(1,0,0), 円柱の高さ(h=1/√2)方向をz軸方向となるように
とると、
小さい方の立体を高さzのところで水平面で切断した弓形（円の一部）の断面積Sは
S=1*1*arccos(z)-z√(1-z^2)
なので
求める立体の体積Ｖは
V=∫[0→1/√2] Sdz
=∫[0→1/√2] {arccos(z)-z(1-z^2)^(1/2)}dz
=[{z*acos(z)-(1-z^2)^(1/2)}-(1-z^2)^(3/2)/3][0→1/√2]
=(√2)π/8+(2/3)-5(√2)/12 ...(答)

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。

回答No.1

yyssaa

＞体積の小さい方の部分を底面からの高さh(0≦h≦1/√2)で
底面と平行な平面で切った断面は、半径1高さ(1-h)の弓形
であり、その面積をS(h)とするとθ=arccos(h)として
S(h)=π1^2*2θ/2π-h√(1-h^2)=θ-h√(1-h^2)
よってV=∫[h=0→1/√2]S(h)dh
=∫[h=0→1/√2]{θ-h√(1-h^2)}dh
=∫[h=0→1/√2]arccos(h)dh-∫[h=0→1/√2]h√(1-h^2)dh
={h*arccos(h)-√(1-h^2)}[h=0→1/√2]
-{(-1/3)(1-h^2)^(3/2)}[h=0→1/√2]
=(1/√2)*arccos(1/√2)-√{1-(1/√2)^2}-{-√1}-(4-√2)/12
=√2π/8-√2/2+1-(4-√2)/12=(3√2π-10√2+16)/24
ということで、質問者さんの答えの丁度２倍になりました。

お礼

計算過程まで掲載していただき、丁寧な回答を本当にありがとうございます。