アポロニウスの円

質問

座標平面のx軸上に3点A(-3,0)、B(0,0)、C(c,0)がある この平面上にPA:PB:PC=4:2:1となるような点Pが存在するのはcがどのような範囲にあるときか

AとBを2:1に内分、外分する部分とBとCを2:1に内分、外分する部分が重なるところで点Pが存在するから二点がm:nに保たれるようなアポロニウスの円を書いたのですがここからどうすればいいでしょうか？教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

PA:PB=2:1を満たす円
(x+3)^2+y^2=4(x^2+y^2)　⇒　(x-1)^2+y^2=4 ...(1)
に
PB:PC=2:1を満たす円
x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2) ⇒ (x-(4/3)c)^2+y^2=(20/27)c^2 ...(2)
が交わるか接する為の条件を求めれ良いでしょう。
即ち、円(1)の中心D(1,0)、円(2)の中心E(4c/3,0)に対して
中心点間の距離DEが「(1)と(2)の差以上、和以下」となる条件、つまり
|2-(|c|)√(20/27)≦|1-(4c/3)|≦2+(|c|)√(20/27)
からcの範囲を求めれば良いでしょう。

これを解くには cの正、負に場合分けして解くと良いでしょう。
解くと
-3/2≦c≦-1/2,3/2≦c≦9/2
が得られるかと思います。

補足

PB:PC=2:1を満たす円
x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2)

これはどこから出たのでしょうか？

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#1の補足の質問について

>共有点を持つか否かはどう判断すればいいのでしょうか？

A#2の中にも書いてありますが、アポロニウスの円（円の中心座標はA#2でD,Eとしています）の中心間の距離DEと半径PDと半径PEの間に

|PD-PE|≦DE≦PD+PE　（等号を除けば三角形の辺の間の関係）

があれば、アポロニウスの円Dと円Eは共有点を持つと言えます。

お礼

他の方の補足までありがとうございました

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足質問の回答

>>PB:PC=2:1を満たす円
>>x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2)

>これはどこから出たのでしょうか？

＃パットみて距離の２乗の式の関係だと分かりそうなものですが…。

でも分からないと言うことなので丁寧に説明すると

P(x,y),B(0,0),C(c,0)より
PB=√(x^2+y^2), PC=√((x-c)^2+y^2)
PB^2=x^2+y^2, PC^2=(x-c)^2+y^2 ...（★)

PB:PC=2:1より　PB^2:PC^2=4:1
外項の積＝内項の積より
PB^2=4*PC^2

これに(★)を代入して

>x^2+y^2=4((x-c)^2+y^2)

式を整理して

> ⇒ (x-(4/3)c)^2+y^2=(20/27)c^2 ...(2)

が得られる。

お分りでしょうか？

お礼

分かりました ありがとうございました

回答No.1

kabaokaba

BとCでもアポロニウスの円を書く

このとき，cの値によって，二つのアポロニウスの円が
共有点ももつか持たないかが定まる．

この共有点がPであることに注意．

補足

共有点を持つか否かはどう判断すればいいのでしょうか？