内分点・外分点について

質問

内分点と外分点を図示する問題です。

数直線上で、ABの長さは６です。
問題では、ABを２：１に内分する点Pを図示します。AB＝６なので、AP：PB＝４：２になるように点Pを図示しました。
図示したものを見ると、点PがABを２：１に内分していることは分かるのですが、図示しようとすると、どのように考えればよいのか、イマイチ納得できません。
４＋２＝６だから…??

さらに、次の問題では外分です。ABを２：１に外分する点Qを図示しなければならないのですが、とりあえずABの外側に点を取り、２：１に外分する点を探していってAQ:QB＝９：３になる点を見つけました。
外分って、今の問題だったら、AQ:QB＝３：１になってしまうんですね。さらによくわかりません…

簡単に内分点・外分点を見つける方法はないのでしょうか??
あと、内分と外分って全く別物なんですか??
比で表したら内分はAP：PB＝２：１＝４：２で考えられるけど、
外分はそうはいきません。
内分と外分は一緒の時間に習ったのですが、全く共通性みたいなものが見えてきません。

回答よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ＡＢ＝6で、
例1）ＡＢ：ＢＣ＝2：1に内分する点Ｐを図示するの場合
内分は線分ＡＢの内部（数直線でいうと点Ａと点Ｂの間）に点を取ることですから、
ＡＢ：ＢＣ＝2：1に内分の場合は、線分ＡＢの大きさ6を2：1に分ける点と考えます。

長さ6を2：1に分けたとき、
2の分は6×2/3＝4
1の分は6×1/3＝2となりますから、

点ＰはＡＰ：ＰＢ＝4：2に分けるように取ります。

次に外分の場合
例2）線分ＡＢを2：1に外分する点Ｑを図示する場合
外分は線分ＡＢの外側（線分ＡＢの延長線上）に点を取ることです。ここで外への出方が2通りあります。Ａから左へでるか右へでるか。これは比をみればわかります。線分ＡＢを2：1に外分といわれたら、点Ａから点Ｂを越えて外に点を取り（そこが点Ｑ）、その点Ｑから点Ｂに戻ります。そのとき比がＡＱ：ＱＢ＝2：1になるように取りなさいということです。
簡単な図を書くと、ＡＱ：ＱＢ＝2：1のとき、ＡＢ：ＢＱ＝1：1であることがわかります。今ＡＢの大きさ（長さ）は6なので、ＢＱ＝6、ＡＱ：ＱＢ＝2：1よりＡＱ＝6×2＝12となります。このような点Ｑを取ればよいことがわかります。

質問文に書かれているようなＡＱ：ＱＢ＝3：1にはなりません。外分でもＡＱ：ＱＢ＝2：1となります。

内分も外分も同じです。内部に点を取るか、外に取るかの違いだけで、○を内分または外分点とすると比Ａ○：○Ｂはどちらも上のように同じです。

ここからは余談ですけど、
数直線上で点Ａの座標がa、点Ｂの座標がb（a<bとします）という風に座標がわかっている場合には、
線分ＡＢの長さはＡＢ＝b-aと表せます。
線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点Ｐの座標を求めたいとき、
上と同じように考えると座標で求めることができます。

大きさb-aをm:nに分けるまず考えると、
ｍに対応する大きさは(b-a)*m/(m+n)
ｎに対応する大きさは(b-a)*n/(m+n)

今点Ａの座標がaだから点Ｐの座標はa+（ｍに対応する大きさ）＝a+(b-a)*m/(m+n)=(an+mb)/(m+n)という有名な内分の公式を求めることができます。これは内分の公式としてたぶんどこかで習うと思います。外分も同じように考えると似たような式が出てきます。

ご参考までに。