内分

質問

座標平面上に点A（5,10）,B(40,-20),P(a,b),O(0,0)がある。Pは線分AB上の点で,線分OPは角AOBを二等分する。このときa,bを求めよ。

基礎的な問題ですが内分,外分がとても苦手で分かりません。ヒントや内分,外分のやり方を教えてもらいたいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

角の２等分線定理:AP:PB=OA:OB
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html
から　
OA=√(5^2+10^2)=5√5
OB=√(40^2+(-20)^2)=20√5
OA:OB=1:4
内分点の公式:OP↑=(nOA↑+mOB↑)/(m+n)
（OA↑はOAベクトルを表す。他も同様。）
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part3/linalg/plane/dividing.htm
から
(a,b)={4(5,10)+1(40,-20)}/(1+4)
=(20+40,40-20)/5
=(60,20)/5
=(12,4)
なお、X,Y座標成分ごとの内分点の公式は以下のように書けます。
ベクトルを習っていない場合は座標成分ごとの内分点の公式を使います。
a=(n*xa+m*xb)/(m+n),b=(n*ya+m*yb)/(m+n)

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます。

回答No.1

mister_moonlight

＞内分,外分がとても苦手で分かりません

この問題に限ると、内分・外分は関係ないだろう。角の問題だから。
そんなに苦手なら、教科書に帰り、判るまで繰り返し教科書を読みなさい。

ＯＡは　y＝2x、ＯＢは　2y＝-x　だから、直角に交わっている。つまり、∠ＡＯＰ＝45°。
又、ＰはＡＢ上にあるから、7b＝100-6a　‥‥(1)
△ＡＯＰに余弦定理を使うと、（ＰＡ）＾2＝（ＯＡ）＾2＋（ＯＰ）＾2-2*（ＯＡ）*（ＯＰ）*（cos45°）‥‥(2)
（ＰＡ）＾2＝（a-5）＾2＋（b-10）＾2、（ＯＡ）＾2＝125、（ＯＰ）＾2＝a＾2＋b＾2。
これらを(2)に代入し、(1)を使って整理すると、（3a+b）*（a-3b）＝0　‥‥(3)
よつて、(1)と(3)を連立して計算するだけ。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます。