収束する数列に関する定理の証明についての質問。

質問

教科書に載っている証明なのですが・・・
lim An=α、lim Bn=β　とするとき、
n→∞　　 n→∞

An≦Bn (n=1,2,…)であればα≦βである。

【証明】
もしα>βであるとし、c=α-β( >0)とする。
lim An=α、lim Bn=β より、
n→∞　　 n→∞

nが十分大ならば、|An-α|< c/2、|Bn-β|< c/2であり、
したがってAn-Bn >0となり仮定に反する。

それで疑問に思ったのが、なんで突然c/2が出てきたのかと。
このc/2はなに者？
|An-α|< c/2、|Bn-β|< c/2　により
なぜAn-Bn >0が言えるのかわからないのです。
助けてください＞＜

回答No.1

sak_sak · ベストアンサー

-c/2 < An-α < c/2…(1)
-c/2 < Bn-β < c/2…(2)
(2)より -c/2 < -Bn+β < c/2…(3)

(1)+(3)より
-c < An-Bn-(α-β) < c…(4)
α-β=cなので、(4)式は
-c < An-Bn-c < c
∴0 < An-Bn < 2c

でいかがでしょうか?

お礼

なるほど！そういうことだったんですね
解決しました(^^;)
ご回答ありがとうございました。