極限集合の証明がわからないので助けてください。

質問

集合族で一般に

lim inf An ⊂ lim sup An
n→∞　　　 　n→∞.

が成り立ちますが、この証明はどのようにすればよいのでしょうか？

回答No.1

alice_44

まず、liminf と limsup の定義を確認。
x∈limimf An ⇔ ∃n,∀k≧n,x∈Ak、
x∈limsup An ⇔ ∀n,∃k≧n,x∈Ak
です。要するに、
x∈An でない n は有限しかないような
x だけを集めた集合が liminf An、
x∈An となる n が無限にあるような
x だけを集めた集合が limsup An
という訳です。
An が無限列であることから、
x∈An である n と x∈An でない n が
両方とも有限ということはありえませんから、
x∈An でない n が有限なら、
x∈An である n は無限にあることになります。
すなわち、liminf An ⊆ limsup An です。
Q.E.D.

liminf An = limsup An だとは限らない理由は、
x∈An である n と x∈An でない n が
両方とも無限にある場合も考えられるからで、
そのような x が存在しない An は
「収束する」と言い、liminf An と limsup An の
共通の値(集合)を lim An と書きます。

お礼

助かりました。
ありがとうございましたm(_ _)m