円軌道上のエネルギー保存則の導出方法における疑問点

質問

長さLの軽い糸の一端を定点Oに固定し、他端に質量m
の小さな錘を結びつける。mが最下点にある状態で水平に初速v(0)を与える。鉛直線と糸の角度をθ、糸の張力をT,重力加速度の大きさをgとすれば、錘mの運動方程式は、(初期条件θ＝０でv=v(o))

　　　向心成分: mv^2/L=T-mgcosθ　…(1)　　
　　　接線成分: mdv/dt=-mgsinθ　…(2)

ここから、エネルギーの保存則
　　1/2mv(0)^2=1/2mv^2+mgL(1-cosθ)…（３）
を導出するとき、「運動方程式の向心成分(1)は進行方
に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(2)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」
1/2mv^2=mgLcosθ＋C　(Cは積分定数）
　　が得られて、初期条件よりエネルギー保存（３）
が導かれる。（ここまではわかります）
ここからが、疑問です。
　地球(質量M）の回りを人工衛星（質量m)が円軌道を描くときのエネルギー保存則は、（Gは万有引力定数）
　　　　m/2v^2-GMm/r=Ｅ(一定）…（６）
です。
　　　　　運動方程式は、
　　　向心成分: mv^2/L=-ＧＭｍ/r^2　…(4)　　
　　　接線成分: mdv/dt=0　　　　　　…(5)

「運動方程式の向心成分(4)は進行方向
に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(5)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」導けるはずなのに（（３）の導出と同じ考え方だから）

しかし、この場合、（５）の右辺が０なので
　どうしても、直接（６）を導けません。

ご指導を宜しくお願いします。

回答No.9

guuman

書き間違い
運動の－→ニュートンの－

m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
であって
m・|ξ'|^2/2-G・m・M/|ξ|=一定
ではありません
最初の式は衛星が地球と同じ大きさでも成立しますが後の式は衛星が十分小さくないと成立しません

向心力がどうのこうのといっていいますが
そんなものは考える必要は有りません

古典力学の基本法則は
・ニュートンの第２法則（運動の法則）
・ニュートンの第３法則（作用反作用の法則）
・万有引力の法則
だけですからこれからすべてを導かなければならず逆にこれだけによってすべては導かれるのです

他のケプラー等無価値な法則は数学で言えば定理であり前記基本法則たる公理から導かれるのです

回答No.8

peck55

補足に対する答えです。
位置エネルギーが一定の時は速度も一定で運動エネルギーも一定です。速度が変わると軌道半径も変わり位置エネルギーが変化します。
位置エネルギーが一定であることは、運動エネルギーが一定であることを保障してるに過ぎません。

回答No.7

guuman

m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
であって
m・|ξ'|^2/2-G・m・M/|ξ|=一定
ではありません
最初の式は衛星が地球と同じ大きさでも成立しますが後の式は衛星が十分小さくないと成立しません

向心力がどうのこうのといっていいますが
そんなものは考える必要は有りません

古典力学の基本法則は
・運動の第２法則
・運動の第３法則
・万有引力の法則
だけですからこれからすべてを導かなければならず逆にこれだけによってすべては導かれるのです

他の無価値な法則は数学で言えば定理であり前記基本法則たる公理から導かれるのです

回答No.6

peck55

人工衛星の場合、位置エネルギーが重力一定とみなせませんから（３）の導出と同じに成りません。
位置エネルギーを計算すると∫(-GMm/r^2)drのrから∞までの定積分で出ますから-GMm/r となります。
Ｅ＝運動エネルギー ＋ 位置エネルギーですから、
m/2v^2-GMm/r=Ｅ(一定）…（６）

と成ると思います。

補足

ご指導ありがとうございます。＞人工衛星の場合、位置エネルギーが重力一定とみなせませんから（３）の導出と同じに成りません。しかし、円軌道の場合は位置エネルギーは一定です。ご指導をお願いします。

回答No.5

space-alien

高校生の分際で申し訳ありません。

　僕も質問と、皆さんの回答を読んで疑問に思ったのですが
　「「運動方程式の向心成分(4)は進行方向に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(5)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」導けるはずなのに（（３）の導出と同じ考え方だから）」
　のところですが、糸で結ばれている場合と、そうでない人工衛星では、異なるのではないでしょうか。
　ケプラーの第2法則は具体的に教わらなかったのですが（少し本を読みました）、この辺と関係があるのではないのでしょうか。

　ごたごた書きましたが、等しいはずと考え、両辺に乗算したことで、錯誤が生じたのではないかと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。人工衛星でも張力でも力の大きさが違うだけです。糸でなくても例えばクーロン力など張力と同じ働きを想定した場合も同様な結果になります。ご指導をお願いします。

回答No.4

ericclapton

振り子の問題では錘が糸で固定され、向心方向に移動できません（もちろん向心方向の上向きには移動できますが）。しかし、惑星の運動では、向心方向に動く可能性があり、向心方向の運動方程式を加味する必要がある。したがって、振り子の問題も向心方向を加味する必要があるが、たまたまこの場合はエネルギー保存則には影響を及ぼさない。また、惑星の場合も、r=（一定）がいえる（実際は惑星の運動は楕円軌道だからいえないが）なら、EにGMm/rを含めると、E=m/2v^2となる。

補足

ご回答ありがとうございます。糸でなくても例えばクーロン力など張力と同じ働きを想定した場合も同様な結果になります。ご指導をお願いします。

回答No.3

guuman

-の書き漏らし

万有引力係数をGとし
地球の質量をMとし地球の慣性系からの位置ベクトルをRとし
衛星の質量をmとし衛星の慣性系からの位置ベクトルをrとすれば

衛星の運動式は
m・r"=-m・M・G・(r-R)/|r-R|^3
地球の運動式は
M・R"=-M・m・G・（R-r)|R-r|^3
である
ξ=r-Rとすると
ξ"=-G・(M+m)・ξ/|ξ|^3
である
これにξ'を内積して積分すると
(ξ')^2/2=G・(M+m)/|ξ|+C
よって地球の重心を原点とする非慣性系における衛星の保存則は
m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
である

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。一般的（円軌道含めて）にやればやれば、運動方程式の両辺にvをかければ、m/2v^2-GMm/r=Ｅ(一定）…（６）を導けることはわかります。円軌道でない場合は接線成分が０でないので納得がいきますが、円軌道（向心成分は仕事はしない）接線成分のみが仕事をするはずなのに、結局、向心成分を利用しないと導けない理由を知りたいです。ご指導を宜しくお願いします。

回答No.2

guuman

万有引力係数をGとし
地球の質量をMとし地球の慣性系からの位置ベクトルをRとし
衛星の質量をmとし衛星の慣性系からの位置ベクトルをrとすれば

衛星の運動式は
m・r"=m・M・G・(r-R)/|r-R|^3
地球の運動式は
M・R"=M・m・G・（R-r)|R-r|^3
である
ξ=r-Rとすると
ξ"=-G・(M+m)・ξ/|ξ|^3
である
これにξ'を内積して積分すると
(ξ')^2/2=G・(M+m)/|ξ|+C
よって地球の重心を原点とする非慣性系における衛星の保存則は
m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
である

回答No.1

omoidasu

ごっちゃになって、混乱しているのではないでしょうか？

人工衛星が円軌道を回っていると言った時点で、
rもvも一定ではないでしょうか？つまり、最初から（６）が成り立つ設定で始まっているのでは？

vは変化するというのなら、円軌道は描かず、向心成分も無視できなくなりますね。

補足

ご指導ありがとうございます。成り立つことはわかるのですが、初めの錘のエネルギー保存則は、接線成分(２)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて、運動エネルギー＋位置エネルギー＝一定を導くことが出来るのに、人工衛星の場合は、運動エネルギー＝一定しか導けない。錘の場合には、位置エネルギーを含めて求まるのに、人工衛星の場合は、位置エネルギー含めて一定が出てこないので疑問に思いました。成り立つから成り立つという論理ではなく導けない理由が知りたいです。ご指導をお願いします。