中学生の数学の問題です（図形）

質問

中学生の数学の問題です

三角形ＡＢＣがあり、角ＢＡＣ＝４５度　角ＡＢＣ＝７０度である。点Ｐは辺ＢＣ上を動く。点Ｐを辺ＡＢ、辺ＡＣについて対象移動した点をそれぞれＱ、Ｒとする。三角形ＡＱＲの面積が最小になるときの角ＢＡＰの大きさを求めよ。

どう考えればよいでしょうか？

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは

図形の問題ですので色々解法はあると思いますが、
パッと思いついたところでこんな感じでいかがでしょうか？
絵を見て下さい。

P から AB に向かって引いた垂線と、AB との交点を S とします。
Q は P を、AB について対称移動した点なので、
PS = SQ となるように Q を決めます。

同様に、P から AC に向かって引いた垂線と AC との交点を T とし、
PT = TR となるように R を決めます。

すると、【△AQP および △ARP は二等辺三角形】となります。
これは、『二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する』
という定理の逆からです。

ここから直ちに、

　(1)　　AQ = AP = AR
　(2)　　∠QAS = ∠PAS (= ▲ とします)
　(3)　　∠RAT = ∠PAT (= ● とします)

がわかります。
さて、仮定から

　(4)　　▲ + ● = 45°

です。(4)の両辺を２倍すると

　(5)　　2(▲ + ●) = 90°

です。ということは、絵を眺めてもらえばわかるとおり、

　(6)　　2(▲ + ●) = ∠QAR = 90°

となり、【△AQR は直角二等辺三角形】であることがわかります。
この面積が最小になるのはどんな場合を考えてみます。

　　△AQR が最小
　　　⇔ (AQ * AR) / 2 = (AP^2) / 2 が最小　（(1)式より）
　　　⇔ AP が最小
　　　⇔ AP ⊥ BC

となり結局、辺 AP と BC が垂直である時に
△AQR の面積が最小になるということがわかります。
すなわち、

　　　⇔ ∠BAP = 20°

となります。

お礼

回答ありがとうございます。

図まで載せて頂いてよく分かりました！

感謝いたします。

回答No.2

mizuwa

Ｑ、Ｒは、点Ｐを辺ＡＢ、辺ＡＣについて対象移動した点なので
(1)ＡＰ＝ＡＱ＝ＡＲ
(2)∠ＢＡＰ＝∠ＢＡＱ，∠ＣＡＰ＝∠ＣＡＲ

△ＡＱＲについて
・・・∠ＱＡＰ＝2∠ＢＡＰ＋2∠ＣＡＰ＝2∠ＢＡＣ＝90°
・・・ＡＱ＝ＡＲ
直角二等辺三角形

△ＡＱＲ＝(1/2){ＡＱ＊ＡＲ}＝(1/2)ＡＰ^2
・・・ＡＰが最小になるとき△ＡＱＲの面積が最小
・・・ＡＰが最小になるときは、ＡＰ⊥ＢＣ
このとき、∠ＢＡＰ＝20°

お礼

回答ありがとうございます。

感謝いたします。