背理法は必要十分ですか

質問

たとえば
√２が無理数であることを証明するときの定石として
√２が有理数でないことを証明しますが

議論を複素数まで拡張し
√２が純虚数であるとしたら
√２は有理数でないが無理数でもないじゃないですか

つまり
√２が有理数でない←√２が無理数である　は成り立ちますが
√２が有理数でない→√２が無理数である　は成り立たないのではないでしょうか（反例√２が純虚数）

お願いします

回答No.1

ta20000005 · ベストアンサー

どんな数学の証明をする時も、その舞台となる全体集合は予め想定されています。
この証明の場合、暗黙の了解で√2が実数であることまでは認められているので、最初から全体集合は実数で考えているという暗黙の了解があるわけです。
なので、複素数で考えることはありません。
もしどうしても気になるなら、最初に√2は実数である(二乗して0以上になるのは実数に限る)と示しておけばいいでしょう。

お礼

なるほど
実数であることは暗黙の了解でそれ故必要十分を満たすわけですね。
すっきりしました有難うございました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

舞台装置を複素数にするなら、まず、
√(2)が実数を除く複素数に成り得ないという
証明から始めるべきでしょうね。

偏角が0でも180度でもない数の２乗は2にならないから
証明は明らかでしょう。

>反例√２が純虚数
２乗して２にならないので反例になってません。

お礼

なるほど
やはり舞台装置の設定で証明がかわりますよね。

反例は…

有難うございました。

回答No.3

bgm38489

ご指摘の通り、有理数でないことから無理数であるとは言えませんね。これには、√２は実数である、という条件がいります。
これとよく似た話が、講談社現代新書の「無言論の教室」（野茂茂樹　著）に詰まっています。ちょっと変わった哲学の講師と、二人だけの受講生のお話で、これを読むと、現代の数学でも、いろいろな見方があるのだ、学校で習ったこと全てが絶体に正しいとは言えない、など、がわかります。
http://www.amazon.co.jp/%E7%84%A1%E9%99%90%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%95%99%E5%AE%A4-%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%96%B0%E6%9B%B8-%E9%87%8E%E7%9F%A2-%E8%8C%82%E6%A8%B9/dp/4061494201

お礼

やはりそうですか。
すっきりしました。
オススメの書籍も目を通してみたいと思います。
有難うございました。

回答No.2

asuncion

＞√２が純虚数であるとしたら

この仮定は正しくありません。
√2は実数です。実数であるからこそ、有理数か無理数か、という議論が成立するのです。

＞（反例√２が純虚数）

こんなもの、反例でも何でもありません。

お礼

反例は…
何を考えていたのでしょうか
お恥ずかしい。