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ルート2が無理数であることの証明と背理法
- ルート2が無理数であることを証明するために、背理法を用います。
- ルート2が無理数でないと仮定すると、ある有理数であると仮定します。
- しかし、この仮定に矛盾が生じることを示すことで、ルート2が無理数であることを証明します。
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＞背理法 ＞ルート２が無理数であることを証明するのですが・・・ ＞教科書には ＞ルート２が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから ＞１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか？ これ以上約分できない分数（規約分数）で表すということです。 ＞ルート２をa/bとおくことができる →この部分が分かりません。 √2＝ａ／ｂ（ａ，ｂは互いに素な自然数）とおく。 ……「互いに素」は「１以外に公約数を持たない」という意味です。 「互いに素」は、後で矛盾であることを示すために使います。 ＞a=ルート２ｂより、aの２乗＝２ｂの２乗となる。ー(1) 上の式から、ａ＝√2ｂを2乗して、ａ^2＝2ｂ^2 ー(1) ＞よってaの２乗は偶数。ならばaも偶数になるのでｃを自然数として ａ^2＝２×（自然数）の形だから、偶数。 「aの２乗は偶数 ならば aも偶数になる」は証明できます。 この命題の対偶を証明します。 対偶：「ａが奇数 ならば ａ^2も奇数になる」が真である と言えれば、 元の命題も真になります。 ［証明］ ａは奇数だから、ａ＝２ｎ+１（ｎは整数）とおける。 ａ^2＝（２ｎ+１）^2＝４ｎ^2+４ｎ+１＝２・２ｎ（ｎ+１）+１より、 ２ｎ（ｎ+１）は整数だから、ａ^2は奇数。 よって、対偶が真であるから、元の命題も真である。 ＞a=２ｃと書ける。 →こうしなければならない意味ってなんですか？ 上の命題から、aは偶数だから、ａ＝２ｃ（ｃは自然数）と書ける。 ＞よって２ｂの２乗＝４ｃの２乗ー(2) （1）に代入して、（２ｃ）^2＝２ｂ^2より、４ｃ^2＝２ｂ^2 ー(2) ＞(1)、(2)より、ｂの２乗＝２ｃの２乗 →こうなる理由を教えてください。 （2）の両辺を２で割って、ｂ^2＝２ｃ^2 ＞ｂの２乗は偶数。よってｂも偶数。 ｂ^2＝２×（自然数）だから偶数。よって、さっきの命題より、ｂも偶数。 ＞ゆえにaとｂは公約数２をもつことになるが、これはaとｂが１以外に公約数をもたないとしたことに ＞矛盾する。 ａもｂも偶数だから、公約数２をもつことになるから。 ＞したがってルート２は無理数。 →分からないです。 √2を、ａとｂが１以外に公約数をもたないような分数（有理数）と仮定したら、 ａもｂも偶数であるという矛盾が起きたから、 やっぱり、√2は無理数である。 ＞全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。 命題「aの２乗は偶数 ならば aも偶数になる」の証明の部分以外を上からつなげて書いていくと、 背理法の証明になると思います。 （証明法は決まりきっているので、流れを覚えてしまえばいいと思います。） いろいろ書き込んで見にくいですが、意味を考えてみてください。
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- asuncion
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＞１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか？ 例えば、14/10と書くより、約分して7/5と書く方が後の話がスムーズに進むからです。 ＞ルート２をa/bとおくことができる →この部分が分かりません。 有理数は分数で表わせることは理解されているのですよね。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ん～, ど～なんだろ.... 「背理法」以前の問題じゃないかなぁ. 例えば, 「有理数」ってどんなものか, わかりますか?
補足
はい、わかります。 分数で表わせる数ですよね？
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2127/6289)
そもそも、背理法の考え方自体を理解していますか？ 今回は、√2が無理数であることを証明したいので、 √2が無理数ではない、すなわち有理数であると仮定した場合に 矛盾が生じることをもってして、√2は無理数であると結論づけようとしています。 このプロセスを理解できていないと、いくら説明してもおわかりいただけないような気がします。
補足
はい、それは理解していると思います。
お礼
ありがとうございました★