高校数I 背理法教えて下さい。

質問

√3が無理数であることを証明する問題を教えていただきたいのですが、
特に、
√3が無理数でない、（つまり有理数）と仮定した後、1以外に公約数を持たない自然数　a・bを用いて√3＝a/bと表す。
と続くのですが、というところで何故a・bが素数でなければいけないのか分かりません。
どなたか教えて下さい。

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

No. 1 のものですが、「a, b が素数」ということと「a, b が互いに素」の違いについて補足です。

「5 と 8 は互いに素」です。1 以外に公約数はありませんから。しかし、8 は素数ではありませんね。

素数というと、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, .... です。この問題で「a, b が素数」と仮定してしまうと、後の証明が続きません。有理数は素数である a, b を用いて a/b と表せる数ではなく、自然数 a, b を用いて a/b と表せる数ですから、a, b は自然数でないといけません。自然数といっても、16/10 のように公約数があると証明がしにくいので、約分して「互いに素」にしておくのです。

回答No.1

tatsumi01

a, b は素数とは仮定しません。「a, b は互いに素」です。互いに素とは、１以外に公約数を持たないことです。そう仮定する意味は証明が少し進むと明らかになります。

√3 = a/b ですから
3b^2 = a^2 (ここで "^" は二乗を示します）
この等式で、両辺を見比べると a と b は公約数を持たないのだから、等式が成立するためには a は 3 の倍数でないといけません。つまり、ここで「a と b が互いに素」という仮定を使います。

a = 3c とおきます。すると
b^2 = 3a^2
上と同じ理由によって、b は 3 の倍数です。

a と b は公約数がない、と仮定したのに 3 は公約数ですね。したがって矛盾である。どうして矛盾が生じたかは、最初の仮定「√3 が有理数である」が間違っていた、という論理構成です。

お礼

回答ありがとうございます。
私の読解力不足でした…。。
tatumi01さんの回答を読んで解きなおしてみます。