指数関数の定義と性質における証明問題について。
大学数学における「指数関数の定義と性質」に関する証明問題の解法についてお聞きしたいです。全ての番号の問いに答えて頂かなくても構いませんので、わかる範囲だけでもよろしくお願いします。
「a>1として以下の(1)～(7)のそれぞれの問いに対する証明を考える。
(1)任意の自然数pに対して、x^p=aを満たすx(1<x)が、唯一つ存在する(このxをa^(1/p)と表す)。
(2)正の有理数rが、r=q/p=q'/p'(p,q,p',q'は自然数)と表されるとき、a^(q/p)=a^(q'/p')>1がなりたつ(この値をa^rで表す)。
(3)正の有理数r,sに対して、a^ra^s=a^(r+s)が成り立つ。
(4)正の有理数の列{Rn}がlim(n→∞)Rn=0を満たすならば、lim(n→∞)a^Rn=1となる。
(5)正数xに対して、{Rn}および{Rn'}をxに収束する単調増加な有理数の列とするとき、数列{a^Rn}および{a^Rn'}は収束して、
lim(n→∞)a^Rn=lim(n→∞)a^Rn'>1 が成り立つ(この値をa^xと表す)。
(6)正数x,yに対して、a^xa^y=a^(x+y)が成り立つ。
(7)関数f(x)=a^x(x>0)は連続関数である。」
以上の証明方法を教えて頂きたいと思います。分かりづらい点もあるかも知れませんが、よろしくお願い致します。
お礼
回答ありがとうございますm(__)m