高校数学１の背理法に関する質問

質問

２種類の背理法の問題について質問です。

（問題１）
√６が無理数であることを用いて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。

模範解答では
こちらは√６＝有理数となり矛盾という流れになっていました。

（問題２）
√２、√３がともに無理数であることを用いて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。

模範解答では
こちらは一旦√３＝・・・の形にしてから
√２＝有理数となり矛盾という、問題１とは若干違う流れになっていました。

ここで質問は
（問題２）で「√２、√３がともに無理数である」ことから「√６が無理数である」と言うことを
はじめに言っていいのか悪いのかと言うことです。
言って良いなら、（問題２）は（問題１）と同一の問題として考えられると思います。

教えてください。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

有理数*有理数=有理数は成り立つけれども

√2,√2はともに無理数だけれども√2*√2=2は無理数でない
1+√2,√2-1はともに無理数だけれども(√2+1)(√2-1)=1は無理数でない
√2+√3,√3-√2はともに無理数だけれども(√2+√3)(√3-√2)=1は無理数でない
2+√3,2-√3はともに無理数だけれども(2+√3)(2-√3)=1は無理数でない

無理数*無理数=無理数は成り立たないので

「√2,√3がともに無理数である」ことから
直接
「√6が無理数である」と言ってはいけません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
無理数同士の積が無理数になる保証はないですね。
今思えば簡単だったかも。
なんか混乱していました。
たくさんの例を出していただきありがたいです。

回答No.3

noname#212313

> （問題１）
> √６が無理数であることを用いて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。

　これは、

　(√2＋√3)^2
＝2＋2√2√3＋3
＝5＋2√6

から、これが有理数であれば√6も有理数になってしまい（√6＝[有理数の四則演算]とできる）、√6が無理数という仮定に矛盾する。

　従って、(√2＋√3)^2は無理数になる。もし、√2＋√3が有理数であれば、2乗して無理数にはならない。したがって、√2＋√3は無理数である。というのが証明の流れでしょうか。

> （問題２）
> √２、√３がともに無理数であることを用いて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。

　こちらは、√2＋√3＝a（a：有理数、√2＞0、√3＞0より、a＞0）と仮定すると、

　(√2＋√3)(√2－√3)＝a(√2－√3)
∴2－3＝a(√2－√3)
∴-1＝a(√2－√3)
∴-1/a＝√2－√3
∴√3＝√2－1/a

∴√2＋√3＝√2＋√2－1/a＝a　（√2＋√3＝aを使った）
∴2√2－1/a＝a
∴2√2＝a＋1/a
∴√2＝(a＋1/a)/2

　これの右辺は有理数の四則演算なので有理数ですが、左辺の√2は仮定により無理数なので矛盾、ゆえに仮定は矛盾し、√2＋√3は無理数。という証明の流れでしょうか。

> （問題２）で「√２、√３がともに無理数である」ことから「√６が無理数である」と言うことをはじめに言っていいのか悪いのかと言うことです。

　無理数同士の積が無理数になる保証はありません。実際、√2×√2＝2と有理数になります。反例がある以上、√2√3＝√6が無理数になるとは直ちには言えず、√6が無理数になる証明をしておく必要があります。

　√6が無理数であることにより、√2＋√3が無理数であることを証明することはできますが、（問題2）が求めているのは、

「『√2が無理数、かつ、√3が無理数』、ならば、√2＋√3は無理数である。」

という証明です。√6が無理数である前提での、

「√6が無理数、ならば、√2＋√3は無理数である。」

という証明とは違ったものになります。題意を満たすとはいえなさそうです。題意を満たしつつ、√6が無理数であることを使うなら、

１．「『√2が無理数、かつ、√3が無理数』、ならば、√6は無理数である。」
２．「√6が無理数、ならば、√2＋√3は無理数である。」

という二段階の証明が必要になります。これの１はちょっと難しそうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
無理数同士の積が無理数になる保証はないですね。
今思えば簡単だったかも。
なんか混乱していました。

回答No.2

Pochi67

> ここで質問は
>（問題２）で「√２、√３がともに無理数である」ことから
> 「√６が無理数である」と言うことを
> はじめに言っていいのか悪いのかと言うことです。

　連続して出題されている場合は、前出の問題の内容を以降の問題に引用してもOKです。
　「√６は無理数である」と（問題１）で事実として提示されているので、（問題２）で「√２、√３がともに無理数であり、かつ、√６は（問題１）から無理数である」を使っても問題ないです。

　但し、たとえば「√６を無理数と仮定した場合」といった、事実ではないかもしれない書き方をしている場合は、その設問（あるいは、その条件を後の設問まで引き継いだ設問まで）限りにしか使えません。

　絶対的な事実と、その設問以前の設問で証明されたことは、解答に利用出来ます。
　出題者によっては、問題を解答出来なければそれを引用する次の問題が解答出来ないという出し方もします（ちなみに、順に解くことが前提のため、後述の問題内容を先述の問題に利用することはありません）。

　この問題では、（問題１）では「√２、√３がどちらか一方、あるいは両方が無理数である」場合の証明で、（問題２）は√２、√３がともに無理数である」場合の証明ってことじゃないかな？

お礼

ご回答ありがとうございます。
連続して出題された物ではなく、違う問題集だけど問題が似ていて、
解答の進め方が違っていたので疑問に持ちました。