ベクトル 内積

質問

正六角形ABCDEFにおいて、AB=a
BC=bとするとき、次の問に答えよ。
(↑AB、aなどの上には→があります。)

(1)AC、ADをa、bで表せ。

(2)AC・AD=1のとき、a・bを求めよ。

という問題で、

(1)はAC=2a+b AD=2a+2bと答えが出せたのですが、
(2)が全くわかりません。

誰か教えて下さい。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

ベクトルは大きさと向きを合わせ持っているので、
ある意味簡単に扱うことができます。

問題にかかる前に、絵は描くようにしましょう。
（されているとは思います）

＞(1)AC、ADをa、bで表せ。
ベクトルACとは、「点Aから点Cに向かう大きさと向き」ということです。
少し乱暴な言い方をすれば、「結果、点Aから点Cに行けばいい」となります。
点Bを経由したとしても、結果がA→Cならば同じベクトルになります。

AC↑= AB↑+ BC↑となります。
（Bをはさみこんでいると見ることもできます）

AD↑については、平行なベクトルがすでにありますよね。
向きは同じということですので、あとは大きさの関係がわかればもとまります。

＞(2)AC・AD=1のとき、a・bを求めよ。
これが見かけによらず意外とやっかいです。
正六角形の1辺の長さ＝ a↑の大きさ＝ b↑の大きさがわかっていません。
まず、これを求めます。

内積の定義から
AC・AD= (辺ACの長さ)×(辺ADの長さ)×cos(角CAD)
となります。
正六角形の 1辺の長さを Lとでもおいて、辺AC、辺ADの長さを表しましょう。
ピタゴラスの定理などを使います。
角CADは、30度になることは図からわかると思います。

Lが求まったところで、次はベクトルで内積を計算します。
(1)の結果を用いて、ベクトルで計算します。
b↑の大きさは、先に Lとして求められています。

答えは簡単な分数になります。

回答No.2

4028

「ｔｋ０８４０」さんの言うとおり
(１)から間違えていますね・・・

(２)AC・AD＝(a+b)*2b=2a.b+2(絶対値)b^2

(絶対値)b^2＝正六角形ABCDEFの１辺の２乗

後は代入して式を変形すれば答えが出ます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

tk0840

図がないのでつくってみました．

ACはa+b
ADは2bになると思うのですが…

お礼

間違ってました。
ありがとうございます。