数学の極限の問題です

質問

(1+x)~1/5―(1-x)~1/5
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(1+2x)~1/3―(1-2x)~1/3

をx→0とするとき、どう解けばいいかわかりません。
教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

L=lim[x→0]{(1+x)^(1/5)-(1-x)^(1/5)}/{(1+2x)^(1/3)-(1-2x)^(1/3)}
分子について
A=(1+x)^(1/5),B=(1-x)^(1/5)とおくと
A^5-B^5=2x,x→0の時 A→1,B→1 なので
分子/x=(A-B)/x=((A^5-B^5)/x)/(A^4+A^3*B+A^2*B^2+A*B^3+B^4)
=2/(A^4+A^3*B+A^2*B^2+A*B^3+B^4)→2/5(x→0)

分母について
C=(1+2x)^(1/3),D=(1-2x)^(1/3)とおくと
C^3-D^3=4x,x→0の時 C→1,D→1 なので
分母/x=(C-D)/x=((C^3-D^3)/x)/(C^2+CD+D^2)
=4/(C^2+CD+D^2)→4/3(x→0)

従って
L=lim[x→0] {(A-B)/x}/{(C-D)/x}
=(2/5)/(4/3)=(2/5)(3/4)
=3/10

お礼

ありがとうございます。助かります。