数学極限の問題

質問

lim[x→∞]{(ｘ（5/6）^ｘ｝　が0になるそうですが、その過程がわかりません。ｘは∞になり、（5/6）^ｘは0に近づくことはわかります。お教えください

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の補足質問の回答

>lim[x→∞] x*{(5/6)^x｝
>=lim[x→∞] x/(6/5)^x　　　←∞/∞型
>分子分母をそれぞれ微分して（ロピタルの定理）
>=lim[x→∞] 1/[{(6/5)^x}*log(6/5)]　
>x→∞のとき分母の(6/5)^x→∞なので
x→∞のとき、分子は定数、分母の(6/5)^x→∞なので
と補った方がいいかもしれません。
>= 0　でもよいのでしょうか？

勿論、OKです。

お礼

いつもご回答ありがとうございます。勉強になります。

回答No.3

alice_44

←A No.1
いいんじゃない？ 収束が言えたら、あとは
漸化式の両辺を n→∞ するだけだし。
それより、単調性からハサミウチにするか、
n は自然数じゃなく実数で考える
という話を書いといたほうがいいのでは？

お礼

ご回答ありごとうございました。

回答No.2

info22_

ロピタルの定理を使っていいなら

lim[x→∞] x*{(5/6)^x｝
=lim[x→∞] x/(6/5)^x　　　←∞/∞型
=lim[x→∞] x/[e^{xlog(6/5)}]　　←ロピタルの定理適用
=lim[x→∞] 1/[{log(6/5)}e^{x*log(6/5)}]
={1/log(6/5)}lim[x→∞] 1/[e^{x*log(6/5)}]
={1/log(6/5)}lim[x→∞] 1/(6/5)^x
={1/log(6/5)}lim[x→∞] (5/6)^x
= 0

お礼

ご回答ありごとうございました。

補足

lim[x→∞] x*{(5/6)^x｝
=lim[x→∞] x/(6/5)^x　　　←∞/∞型
分子分母をそれぞれ微分して（ロピタルの定理）
=lim[x→∞] 1/[(6/5)}^x・log(6/5)]　
x→∞のとき分母の(6/5)^x→∞なので
= 0　でもよいのでしょうか？

回答No.1

DJ-Potato

An = n・(5/6)^n
とおくと、
An+1 = (n+1)・(5/6)^(n+1)
　= (n+1)/n・(5/6)・ｎ・(5/6)^n
　= 5(n+1)/6n・An

つまり、
5(n+1)＞6nであればAn+1＞An
5(n+1)＝6nであればAn+1＝An
5(n+1)＜6nであればAn+1＜An
となります。

これを解くと
n<5　の時　An+1＞An
n=5　の時　An+1＝An
n>5　の時　An+1＜An

A6以降、y=Anは負数にはならず単調減少していく事がわかります。

実はこれだけでは、負数にならないで単調減少する、という事がわかるだけで、例えば１とか0.5とかに0.001とか、中途半端な所に収束するかもしれないんですけどね。

お礼

ご回答ありごとうございました。