数学

質問

2^(1/3)+3^(1/2)の最小多項式をf(x)とする。f(x)のすべての根を求めよという問題です

これで
α＝2^(1/3)+3^(1/2)と置いた時

と出ました

多分これで
f(x)=x＾6-9x＾4＋27x＾2－36x-23=0
x
を求めたいんですが
6次式なのでどうすればいいかわかりません
教えてください
宜しくお願いします

回答No.1

LHS07 · ベストアンサー

x　f(x)

-0.6 7.2
-0.5 1.2
-0.4 -4.5
-0.3 -9.8

2.6 -36.4
2.7 -14.2
2.8 16.6
2.9 57.9

Excelで
B3にf(x)を計算させる。
=A3^6-9*A3^4+27*A3^2-36*A3-23
をコピー
A3に値を入れます。

回答No.5

ramayana

若干、補足します。

f(x)の残り5個の根については、ANo.3さんの回答の通りです。

ただ、ANo.3さんの、aとbを消去すればf(x)が得られる、という部分は、間違いです。aとbを消去して得られる多項式は、「a+bを根とする多項式」ではありますが、「最小多項式」だとは限りません。有理数体上既約でない可能性があるからです。

例えば、

　　x=a+b
　　a^3=2
　　b^3=2

からaとbを消去しても、a+bの最小多項式になりません。これはつまらない例ですが、一般には、もっと判別の難しいケースもあります。

したがって、aとbを消去した後、得られた多項式が有理数体上既約である（因数分解できない）ことを確かめることが、必須です。現実問題として、この部分の作業が一番手間がかかるのではないでしょうか。

回答No.4

ramayana

x^6-9x^4-4x^3+27x^2-36x-23

の間違いではありませんか？

回答No.3

stomachman

2^(1/3)+3^(1/2)の最小多項式をf(x)とすると、方程式 f(x)=0 は
　　x=a+b
　　a^3=2
　　b^2=3
という連立方程式を立ててa,bを消去すれば得られます。（ご質問のf(x)はホントに合ってます？）

　これはどういうことかというと、「f(x)=0 は a+b を解とする方程式で、ただしa^3=2, b^2=3である」ということです。アタリマエですわいな。
　さて、a^3=2 を満たすaは2^(1/3)だけじゃない。複素解を考えれば3つありますね。b^2=3を満たすbも2つあります。これらの組み合わせで、f(x)=0 の (2×3)通りの解が表される。だから６次方程式f(x)=0は初めから解けているのです。

回答No.2

Tacosan

その f(x) は, どうやって導いたの?

あと, もっと日本語を勉強した方がいいと思う.

「これで
α＝2^(1/3)+3^(1/2)と置いた時

と出ました」
とか
「多分これで
f(x)=x＾6-9x＾4＋27x＾2－36x-23=0
x
を求めたいんですが」
という表現は (自分の中では明確な意味があるのかもしれんが) 他人に意図を理解してもらえるなどとは思わない方がいい.