問題集に載っていた問題が解けません・・・
[x_0,x_n]内で少なくともn階微分可能な関数f(x)と、n次の多項式P_n(x)が、点x_i（i=0,1,・・・,n）で交わっているとき、多項式P_n(x)のn次の項の係数をC_nとすると
f^n (k) = n! C_n ただし x_0 < k < x_n
を満たす定数kが存在することを示せ。
という問題を解いています。ロルの定理を使うのかなぁと思い次のような方針で解を得ました。（得た気になってました）
関数g(x)を
g(x) = f(x) - P_n(x)
と置く。これをxでn階微分すれば
g^n (x) = f^n (x) - n! C_n
となる。 f^n (k) が[x_0,x_n]内で微分可能ならg^n (x)も同様。またx_iでfとPは交わっていることから
f(x_i) = P(x_i)
つまり
g(x_i) = f(x_i) - P(x_i) = 0
つまり
g(x_0) = g(x_1) = … = g(x_i) = 0
これより[x_0,x_n]内でg(x)にロルの定理を適用すれば
g'(k) = f'(k) - P_n'(k) = 0 ・・・（Ｉ）
を満たすkが存在する。これをn-1階微分すると
g^n (k) = f^n (k) - n! C_n = 0 ・・・（ＩＩ）
したがって
f^n (k) = n! C_n
とやったんですが、「点x_i（i=0,1,・・・,n）で交わっているとき」を全く使ってないですし、（Ｉ）→（ＩＩ）の変形が間違っている気がします（kの関数をxで微分している・・・）。
なにかヒントや方針などお教え頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございました。