数学II 多項式の除法について。

質問

基本的な問題だと思うのですがわかりませんでした。

多項式f(x)を(x - 1)^2 (x + 3)で割ったときの余りが
2x^2 - 5x + 1 のとき、f(x)を(x　-　1)で割ったときの
余りを求めよ。

これを除法の原理を使って解くと思うのですが、
どうやって解けばいいのでしょうか？
参考書の答えだけでは不十分だったので、
詳しい回答お願いします。

回答No.9

pontiac_gp

質問者さんが「除法の原理」と言われているものは、

整式f(x)を整式P(x)で割った商をQ(x)、余りをR(x)とするとき
f(x) = P(x)Q(x) + R(x) が成り立つ

と言うものでしょう。これはこれで正しいのです。
ではこれを逆に考えてみてください。
ある整式f(x)がf(x) = P(x)Q(x) + R(x) とかけたならば、
f(x)をP(x)で割った商はQ(x)、余りはR(x)と言えるでしょうか？

少し考えればわかりますが、f(x) = P(x)Q(x) + R(x)となるような
Q(x)・R(x)は無数に存在します。それじゃ割り算ができない？
そのために教科書では条件が書いてあるはずです。
「R(x)の次数はP(x)の次数より小さくなければならない」と。

本問では割る式(x-1)^2 が二次式なので、f(x)を(x-1)^2で割った余りは
一次以下の整式（一次式または定数）でなければならないのです。

f(x)=(x-1)^2 (x+3)Q(x) + 2x^2-5x+1 は一見して除法の原理の
形をしていますが、この2x^2-5x+1は余りではないのです。
なぜなら二次式だからです。言い換えれば「まだ(x-1)^2で割れるから」です。
お使いの参考書の解答が2x^2-5x+1を(x-1)^2で割っているのは「まだ割れるから」です。

整数の割り算に置き換えてみましょう。いま33÷7という問題があるとします。
これは商4余り5なので、33 = 4×7 + 5 と書けます。
ところで33は 33 = 3×7 + 12 とあらわすこともできますよね。
そう思ったうっかりさんが「商3あまり12です」と答えたらこれは不正解です。
「12はまだ7で割れるから余りじゃないよ」と。それと同じことです。

回答No.8

take_5

＞なぜ余りを割る必要があるのかということです。

質問者は参考書に書かれている「割る」という言葉に引っかかっているんだろう。
多項式f(x)を(x - 1)^2* (x + 3)で割ったときの余りが2x^2 - 5x + 1 、商をＰ（x）とするとき、f(x)＝(x - 1)^2 *(x + 3)*Ｐ（x）＋2x^2 - 5x +1　‥‥(1)となることはわかるでしょう。
又、これは　f(x)＝(x - 1)^2* (x + 3)*Ｐ（x）＋2(x - 1)^2-（x+1）と変形できる。
つまり、2x^2 - 5x +1≡2(x - 1)^2-（x+1）。
この変形は、慣れれば割り算なんかしなくてもすぐ思いつくんだが、2x^2 - 5x +1＝2(x - 1)^2-（x+1）の変形をするときに、2x^2 - 5x +1を(x - 1)^2で割るとこのような変形ができるという事を参考書は言っているに過ぎない。
つまり、この問題は単に(1)を変形したに過ぎない。そして、その意味するところは既に回答者から指摘されている通り。

回答No.7

info22

#1です。
A#1の解は質問者さんの訂正前の質問の解ですので、ここでは触れないでおきます。
(x-1)^2で割ったときの余り
に訂正後の解は#4,#5さんの解答で十分だと思います。
それが分からなければ質問者さんの理解力不足なのだと思います。少し問題数をこなして、良く考えて理解力をアップさせていただく必要があるかと思います。

しかし、
＞これは余りを割っていますよね。
＞なぜ余りを割る必要があるのかということです。
と分からないとのことですから、

この「余り」は、R(x)=2x^2-5x+1で
f(x)を「(x-1)^2(x+3)」で割った余りであって、
f(x)を「(x-1)^2」で割った余りではありません。
f(x)=(x-1)^2(x+3)P(x)+2x^2-5x+1
　　=(x-1)^2(x+3)P(x)+R(x)
の式を良く観察してよく考えてみて下さい。
f(x)を「(x-1)^2」で割った余りをR'(x),商をQ(x)とおけば
f(x)=(x-1)^2 Q(x)+R'(x)
となります。
A#4,A#5の解にあるように
Q(x)=(x+3)P(x)+2
R'(x)=-x-1
という関係にあります。
そして
R(x)=2x^2-5x+1=2(x-1)^2 +R'(x)
という関係が成立します。
この式が意味する所は、R(x)を「(x-1)^2」で割った余りが
R'(x)=-x-1であること。
言い換えれば、R(x)を「(x-1)^2」で割ってやれば、
f(x)を「(x-1)^2」割ったときの余り「R'(x)=-x-1」が出てくる
ことを意味しています。

じっくり時間をかけて上記の説明を繰り返し読んで、
良く考えてみて下さい。
そうすれば、理解できてくるでしょう。

回答No.6

postro

これならいかが？
100を　3*7=21　で割ると商は　4 で、余りは　16
100=3*7*4+16
100を　7　で割った余りは、16　を　7　で割った余りに等しい。

回答No.5

postro

＞なぜ余りを割る必要があるのかということです。
割ることによって、
f(x)=(x-1)^2{(x+3)P(x)+2} -x-1 と書けることがわかるからです。
この式はあまりが -x-1　であることを示しています。

回答No.4

postro

題意より整式P(x)を用いて
f(x)=(x-1)^2(x+3)P(x)+2x^2-5x+1 と書ける。さらに
2x^2-5x+1 を　(x-1)^2　で割ると商が　2　あまりは　-x-1 なので
f(x)=(x-1)^2(x+3)P(x)+2(x-1)^2 -x-1=(x-1)^2{(x+3)P(x)+2} -x-1 と書ける。
よって　f(x)を(x-1)^2で割ったときの商は　(x+3)P(x)+2　あまりは -x-1　とわかる。

補足

回答ありがとうございます。
＞2x^2-5x+1 を　(x-1)^2　で割ると商が　2　あまりは　-x-1 なので

先にも書きましたが、
ここの計算をなぜするのかがよくわからないのです。
これは余りを割っていますよね。
なぜ余りを割る必要があるのかということです。
回答待ってます

回答No.3

postro

No.1さんのおっしゃっていることは正しい。
間違えた問題を出しておいて、「答えが違う」との発言は失礼なので謝るべき。

参考書の答えのどこがどういうふうに不十分か書くべき。

補足

そうですね。
すみません、僕の説明が不十分でした。
以後気をつけますね。

で、僕は除法の原理を使うところまではわかるのです。
まず、f(x)=割る式×商＋余りに当てはめると参考書には書いてあります。
この問題の場合、

f(x)=(x - 1)^2 (x + 3)Q(x) + 2x^2 - 5x + 1

で、僕がわからないのはこの後で、参考書には

(2x^2 - 5x + 1)　÷　(x - 1)^2　を計算する

と書いてます。僕が聞きたいのは
なぜこのような計算をするのか？ということです。
回答待ってます。

回答No.2

Kules

剰余の定理より、
「f(x)を(x-a)で割ったときの余りはf(a)」ですので、
f(x)=(x-1)^2(x+3)g(x)+2x^2-5x+1　(g(x)はxの整式)
にx=1を代入すればいいと思います。

補足

回答ありがとうございます。
すみません、問題に一部修正します。
「f(x)を(x-1)^2で割ったときの余り」として回答お願いします。
あと申し訳ありませんが、
剰余の定理ではなく除法の原理を使ってください。

回答No.1

info22

>参考書の答えだけでは不十分だったので、
>詳しい回答お願いします。
不十分な解答を書いてその不十分で分からないところについて
質問してください。
丸解答を求めるのはここではマナー違反になります。

ヒント）
f(x)=Q(x)(x - 1)^2 (x + 3)+2x^2 - 5x + 1
=Q(x)(x - 1)^2 (x + 3)+2(x-1)P(x)+a
f(1)=a=2-5+1=-2 ←　答え

補足

丸解答など求めていません。
数学は文字だけ、数字だけの説明が多いので
日本語も解説に入れて丁寧に解説していただけたらと
思いまして。
だから参考書の答えだけでは不十分なのです。
ちなみに答えが違うのですが・・・