数学 積分の方程式みたいなやつ

質問

☆はｔ分のf(t)を1からｘまで積分したものである。
f(x)＋☆＝3x^2－2x
をみたす多項式f(x)を求めよ。

何をやっても全くできないです。
どなたか解説お願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

f(x)は多項式だから、nを適当な大きい自然数として、
　　f(x) = Σ{k=0…n} (a[k] x^k)
と書く事にしましょう。

[1] 「f(x)がどこかで発散したりしないか」ということをひとまず無視して、つまり答の候補となる多項式を計算します。
　与えられた式は、xに関する恒等式（任意のxについて成立つ式）です。その両辺をxで微分すれば、（f'(x) = df/dx とすると）
　　f'(x) + f(x)/x = 6x - 2
つまり
　　x f'(x) + f(x) = 6(x^2) - 2x
となる。ここで
　　x f'(x) = Σ{k=0…n} (k a[k] x^k)
以上から、
　　x f'(x) + f(x) = Σ{k=1…n} ((k+1) a[k] x^k)
これが任意のxについて 6(x^2) - 2x と等しいというんだから、各項の係数を比較すれば
　　a[0] = 0
　　2a[1] = -2
　　3a[2] = 6
　　a[3] = … = a[n] = 0
となって、f(x)の候補となる多項式がひとつだけ決まる。

[2] この候補が実際に問題の恒等式を確かに満たす、という検算をやれば完璧解答です。（ここをサボると減点。）

回答No.3

stomachman

ANo.2訂正

間違い：

> 「f(x)がどこかで発散したりしないか」

訂正：

「☆がどこかで発散したりしないか」

回答No.1

gohtraw

ｆ（ｔ）／ｔはｆ（ｔ）よりもｔの次数が１低く、これを積分したものは
次数が１上がるので、☆はｘの二次式です。また、右辺が
ｘの二次式なので、ｆ（ｘ）もｘの二次式です。
そこで
ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ
とおくと、
☆＝∫（ａｔ＋ｂ＋ｃ／ｔ）ｄｔ　　（積分範囲は１からｘ）
　＝［ａｔ＾２／２＋ｂｔ＋ｃ＊logｔ］　　（積分範囲は１からｘ）
　＝ａｘ＾２／２＋ｂｘ＋ｃ＊ｌｏｇｘ－ａ／２－ｂ
よって
ｆ（ｘ）＋☆＝３ａｘ＾２／２＋２ｂｘ＋ｃ＊ｌｏｇｘ＋ｃ－ａ／２－ｂ
これと　３ｘ＾２－２ｘ　の係数を比較すると
ａ＝２、ｃ＝０、ｂ＝ー１