不定方程式

質問

１本７０円のえんぴつⅹ本と１冊９０円のノートｙ冊を買って５５０円払った。ⅹ，ｙを求めよ。
という問題で、

７０ⅹ＋９０ｙ＝５５０
７ⅹ＋９ｙ＝５５　・・・(1)

ｍｏｄ７を考えると、
２ｙ≡６（ｍｏｄ７）
ｙ≡３（ｍｏｄ７）
ｙ＝３＋７ｔ　・・・(2)

ｍｏｄ９を考えると、
７ⅹ≡１（ｍｏｄ９）
ⅹ≡４（ｍｏｄ９）
ⅹ＝４＋９ｚ　・・・(3)

と、ここまでやったのですがこの先がわかりません。
(2)を(1)に代入してみたのですがそうするとｔとｚをどうやって消したらよいのかわからなくなってしまいました。
どなたかこの先どうしたらよいのか教えてください(>＿<)
お願いします！！

回答No.5

noname#9538 · ベストアンサー

>(2)を(1)に代入してみたのですがそうするとｔとｚをどうやって消したらよいのかわからなくなってしまいました。

おしいところまでできてますよ。
(2),(3)の両方を(1)に代入します。
このとき、t、zは共に0以上という条件があることに
注意します。

代入結果は
63(t+z)＝0
これをみたす0以上のt、zは?
この答えは明らかですね。

お礼

できました！！
これでやり方がわかったので他の問題もできると思います。
ありがとうございました。

回答No.4

shinchan_k

7x+9y=55より、
y=0のとき、7x=55
これを満たすxは1以上7以下
また、x=0のとき、9y=55
これを満たすyは1以上6以下
x=4+9zと表されるので、1<=x<=7を満たすのはz=0のときのみ
よって、x=4
y=3+7tなので、1<=y<=6を満たすのはt=0のときのみ
よって、y=3

ってな感じでどうでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

ucchy

もっと原始的に考えると

x=(55-9y)/7

x, yは正の整数だから、1=<y=<6
y=1から順番に6まで考えて、y=3のときだけ
xは正の整数になる。

というのが分かりやすくてよいのでは？

modを使うのは、そういう方法で解けと言われたのでしょうか。
あまり技巧に走ると(別にmodが技巧的とは言いませんが)、理解しづらくなりますので、とりあえず原始的に解説してみました。

お礼

申し訳ありません。私の説明不足でした。
Ｎｏ．１の方のお礼にも書いたようにｍｏｄの練習だったんです。

お手数をおかけしました。ありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

x、yは0以上の整数ですが(1)より
xは７以下、yは６以下ということも分かります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

fluffy

これってどんなレベルの問題ですか？
ｘ、ｙは自然数しかあり得ないわけなので条件だしをすればすぐに終わりますよね？
modとか出してきてるけど変数を増やしたら解ける物も解けなくなります。
素直に
7、14，21，28，35，42，49と
9、18、27，36，45，54
から答えを求めた方がいいのではないですか？

そうでないならグラフでも書いて交点を見つけてください。

お礼

申し訳ありません。私の説明不足だったようです。
これはｍｏｄを使う計算の練習問題だったのでこのやり方でやってました。

どうもありがとうございました。