方程式の整数解

質問

”rを自然数とする。
連立方程式
x^2+y^2+z^2＝1/3(r^2+2)…(1)
x+y+z＝r…(2)
の整数解を決定せよ。”

という問題です。

僕は
(2)を(1)に代入して
3(x^2+y^2+z^2)＝(x+y+z)^2+2＝x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+2
として、さらに同値変形で
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝1
としました。

x-y、y-z、z-x
は全て整数で、
(x-y)+(y-z)+(z-x)＝0
であることから
x-y＝1,y-z＝0,z-x＝-1
となります。（x,y,zの対称性からこの場合だけ考えれば十分）
これからx,y,zは一般にtを実数として
x＝t+1
y＝z＝t
となります。
これと
x+y+z＝r
から
t＝1/3(r-1)
となったので、r≡1(mod.3)のときのみ題意を満たす(x,y,z)は存在して
｛x,y,z｝＝｛1/3(r+2),1/3(r-1),1/3(r-1)｝
である。

としました。

自分でいうのも何ですが、解法があまりにも巧すぎて、他の問題で使えそうにありません。

もっと自然な発想で解くことはできないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

#1です。
＞他の問題で使えそうにありません。
という事を心配されているようなので、この方針でこの問題が(スマートに？)解けるか、よりも、他の問題で適用すれば(スマートに)解ける時があるかも、という方に重点を置いています。

その１
x+y+z=r
xy+yz+zx=((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))/2=(1/3)(r^2-1)
xyz=kとおく。（kは整数）
x,y,zは、f（t）＝t^3-rt^2+(1/3)(r^2-1)t＝kの解。

f（t）＝kが３つの整数解を持つような整数kとその時の整数解を求めればよい。

この後は省略しますが、実は、極大値と極小値の差＝4/27＜１であるため、fの極小値≦k≦fの極大値、という条件を満たすkは高々一つしか存在しません。
さらに、結果をみても分かるように、mod3 に対して、r≡１の時は極大値が、r≡２の時は極小値が整数になります。なので、そこまで大変ではないと思います。

その２
１）、２）からrを消去すると、
x^2-(y+z)x+y^2-yz+z^2-1=0
となる。xの方程式とみると、これが整数解を持つのだから、その判別式は平方数。
よって、判別式D＝n^2とおける。

D-n^2=0をyの方程式とみると、これが整数解を持つのだから、その判別式は平方数。…以下略。

この問題でこのように解くのはかなり大変かもしれません。というか、この方針で解けるかどうかも分かりません。
この問題では、変数がx,y,zの３つでしたが、x,yの２つで、これと似たような問題であれば、この方針で上手く解ける事もあると思います。

お礼

いろいろな別解ありがとうございます。
確かに２は不定方程式の場合分けが多くなりそうですね。
しかし、他の問題で使う場面もありそうなので覚えておきます。
ありがとうございました。

回答No.5

mixchann

＃２です。＃１、＃４さんの回答を見て、質問者の回答および＃２で述べたことを補充・訂正します。ここでは、対称性を十分(！)活用することが大切ですね。
■ r を自然数とするとき、連立方程式(一部書き換えました)：
x^2+y^2+z^2＝(r^2+2)/3…(1)
x+y+z＝r　…………………(2)
の整数解を求めます。
>(2)を(1)に代入して
>3(x^2+y^2+z^2)＝(x+y+z)^2+2＝x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+2
>として、さらに同値変形で
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝2 ←1 ではありません。
　ここで、P＝x-y,　Q＝y-z,　R＝z-y とおくと、P, Q, R は全て整数で、
　P＋Q＋R＝(x-y)+(y-z)+(z-x)＝0
さらに、対称性から、x≧y≧zと仮定しても、一般性を失わない。
従って、(1)(2)は、次の連立方程式を解くことに帰着される。
P, Q, R は全て整数として、
　P^2＋Q^2＋R^2＝2 　……(3)
　P＋Q＋R＝0 　　…………(4)
　P≧0,　Q≧0,　R≦0 ……(5)
(3)(4)(5)より、ただちに、次の解を得る。
　　(P,Q,R)＝(1,0,-1),　(0,1,-1)
[ア] (P,Q,R)＝(1,0,-1) のとき。
　x－y＝1,　ｙ－ｚ＝0,　z－ｘ＝-１
より、t を任意の整数のパラメーターとして、
　x＝t＋1,　y＝t,　z＝t
ここで、x＋y＋z＝(t＋1)＋t＋t＝3t＋1＝r
より、t＝(r－1)/3 である。(ゆえに r＝3k＋1 と書ける。)
[イ] (P,Q,R)＝(0,1,-1) のとき。
　x－y＝0,　ｙ－ｚ＝1,　ｚ－ｘ＝-１
より、t を任意の整数のパラメーターとして、
　x＝t,　y＝t,　z＝t－1
ここで、x＋y＋z＝t＋t＋(t－1)＝3t－1＝r
より、t＝(r＋1)/3 である。(ゆえに r＝3k＋2 と書ける。)
以上をまとめると、k を 0 以上の任意の整数として、
　(x, y, z)＝ ( (r+2)/3, (r-1)/3, (r-1)/3 ) ……r＝3k＋1の場合。
　　、 　　＝ ( (r+1)/3, (r+1)/3, (r-2)/3 ) ……r＝3k＋2の場合。
　　　　　　(注：r＝3k　の場合は、解がない。)
ただし、上記の解は、それぞれ、x,y,z の順列を考慮して、計 6 通りの解を持つ。
★これで、＃４さんの回答と完全に一致します(多少、表現は違いますが)。＃１さんが指摘された r＝2 の場合の脱落も補われたわけです。

お礼

完璧な回答ありがとうございます。
ポイントはx,y,zの対称性はあるけど
Ｐ,Ｑ,ＲにはＰ＋Ｑ＋Ｒ＝０という制約があって
一般にＰ≧Ｑ≧Ｒとおけないところにあるんですね。

回答No.4

age_momo

#3です。本当のところ発想というか、テクニックというか、
A=x+y,B=x-yとおくと

x^2+y^2=1/2(A^2+B^2)
xy=1/4(A^2-B^2)
x^2-y^2=AB

で、式変形が楽になる場合が有るので覚えているだけですよ。

お礼

こういうテクニックがあるのですね。
覚えておきます。
ありがとうございました。

回答No.3

age_momo

別解と言うことなのであえて。。。
連立方程式の変数を一つ消すという単純な発想+面倒な式変形はイヤという極く自然な発想(笑)でいくと
A=x+y,B=x-yとおくと、z=r-A および x^2+y^2=1/2(A^2+B^2)から

x^2+y^2+z^2=1/2(A^2+B^2)+(r-A)^2=1/3(r^2+2)

両辺に6をかけ、展開して右辺のr^2の項を左辺に移すと

9A^2-6rA+4r^2+3B^2=4
(3A-2r)^2+3B^2=4

3A-2rとBは整数なので取りうる解は

(3A-2r,B)=(±2,0),(±1,±1)の6通り。

(2,0)の時
B=0より　x=y
3A-2r=3x+3y-2r=6x-2r=2
x=y=1/3(r+1)　また、z=r-2/3(r+1)=1/3(r-2)　　ただし、r=3n-1の時にのみ(x,y,z)は整数を取り成立
以下、同様にして求めていくと

nを自然数とすると
r=3n-2の時
(x,y,z)=(1/3(r+2),1/3(r-1),1/3(r-1)),(1/3(r-1),1/3(r+2),1/3(r-1)),(1/3(r-1),1/3(r-1),1/3(r+2))
r=3n-1の時
(x,y,z)=(1/3(r-2),1/3(r+1),1/3(r+1)),(1/3(r+1),1/3(r-2),1/3(r+1)),(1/3(r+1),1/3(r+1),1/3(r-2))
r=3nの時
解無し　　

ですね。

お礼

ありがとうございました。

やはり代入は基本ですね。
僕は直接x,yのままでzを消去して式変形がとんでもないことになったのですが、こういう風に変数を変えるといいんですね。
ちなみにこの変数変換はどういう発想なんでしょうか？
よろしければ教えてください。

回答No.2

mixchann

質問者の回答は、x,y,z の対称性を崩さずに式変形しているので、エレガントかつ自然な解答といえます。
別解はあるでしょうが、雑然とした解答になるだけでしょう。
あと、
>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝1←ココ
は、
　(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝2
の誤植です。
最後の答えのところも、x,y,z の入れ替えで３通りになることを明示しておく方がよいと思います。

お礼

対称性を崩さない変形というのは自然な発想なんですね。（そう思わないところがまだまだ甘いですね）

＞>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝1←ココ
＞は、
＞　(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝2
＞の誤植です。
＞最後の答えのところも、x,y,z の入れ替えで３通り＞になることを明示しておく方がよいと思います。

確かにその通りです。
ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

ということは、r=2の時に、(x,y,z)=(1,1,0)は解にはならないのですか？

そんなわけで、別解を考える前に、自分の回答のどこが間違っているのかを考えてみることを薦めます。

お礼

x-y＝-1,y-z＝0,z-x＝1
の場合を考えて
(x,y,z)＝(t,t+1,t+1)
とすると、仰る答えも出ました。

ありがとうございました。

補足

確かに答えは出ましたが、なぜあの場合を考慮する必要があるのかイマイチ分かりません。
((x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2)＝(1,1,0)
であることは自明なので
(x-y)+(y-z)+(z-x)＝0
の条件を課すと両方の場合が出てきましたが…

なぜこの場合を消すことはできないのでしょうか？